Версия для печати темы

Автор: Надин 26.04.2006 4:57

Вот и настала моя пора обратиться за помощью к высшим умам. 4 ночь без сна, а ответы на интересующие меня вопросы так и не найдены. Пожалуйста!!!!!!!!!! ПОМОГИТЕ!!!!

1.Доказать, что множество всех чисел x из (0;1), таких что сумма ряда x в степени корень из n (x^(sqrt(n))) (n от 1 до бесконечности) является рациональным чилом, счетно.

Мои мысли: у нас есть отображение чисел из интервала на подмножество рациональных чисел. Множество рациональных чисел счетно(можно легко доказать данный факт). Любое подмножество счетного множество конечно или счетно. Конечным оно быть не может, т.к. на данном интервале содержится множество рациональных чисел.
Затруднения: затруднения возникли с тем, что необходимо доказать, что у нас взаимнооднозначное отображение,т.е.биекция. Что если у нас есть х1 и х2, которые при данном отображении перейдут в одно и тоже рациональное число? Необходимо изучить (я полагаю) степенной ряд, если он окажется возрастающим то инъективность будет доказана. НО КАК ДОКАЗАТЬ ЧТО ОН ВОЗРАСТАЕТ НЕ ЗНАЮ....
ПОМОГИТЕ
2. Пусть множество Х имеет мощность континуум и S-множество всех не более чем счетных подмножеств Х. Доказать, что S имеет мощность континуум.
В данной задаче буду благодарна хотя бы за идею как решать (семенарист не одобрил не одной попытки решения этой задачи, а как решать не намекнул...)...

Спасите глупую студентку от неменуемого провала!!!

Автор: lapp 26.04.2006 19:45

Привет, Надин!
В первой задаче ты рассуждаешь совершенно правильно. Я помогу тебе только доказать, что множество сумм возрастает на (0,1).
Итак, берем два числа, a и b, причем 0<a<b<1. Тогда
b = a*c ,
где c>1.
Теперь распишем ряды в явном виде (буквой V я обозначаю радикал, то есть корень)

Sa = a^V(1) + a^V(2) + a^V(3) + ...

Sb = (a*c)^V(1) + (a*c)^V(2) + (a*c)^V(3) + ... = a^V(1)*c^V(1) + a^V(2)*c^V(2) + a^V(2)*c^V(2) + ...

Видно, что каждый член ряда Sb равен соответственному члену ряда Sa, но домноженному на число c^V(n), которое больше единицы. То есть каждый n-ный член ряда Sa больше n-ного члена ряда Sb, а значит и сумма больше.

Если тебя это еще не убедило, то давай второй член ряда Sb просто заменими на второй член ряда Sa (или уберем из него множитель c^V(n), больший единицы). Очевидно, что при этом сумма станет меньше - так? Далее, поступим так с каждым последующим членом (кроме первого!). Таким образом, мы получим два одинаковых ряда, начиная со второго члена. Но первый член во втором ряде все же больше. Значит, и ряд больше.
Следовательно, Sa<Sb.

Вторую чуть позже, ок?

Автор: Надин 27.04.2006 3:01

Вроде бы наоборот - каждый n-ный член ряда Sb больше n-ного члена ряда Sa, а значит и сумма больше.
Но я и так поняла! Огромное спасибо! Все оказалось гораздо проще, чем я думала. Прям задача из 1ого семестра. Плохой, видно, из меня математик... Спасибочки!!!!


На счет второй задачи. Рассуждение: никуда дальше чем на примере дело не идет. Если взять например множество действительных и рациональных чисел.
Множество действительных чисел(наше множество X) имеет мощность континуум. Множество рациональных чисел - это подмнодество действительных чисел и оно имеет мощность континуум. Если любое бесконечное множество объединить с не более, чем счетным, то объединение будет эквивалентно исходному множеству, т.е мощность останется неизменной. Значит S имеет мощность континуум. Наверное, этот пример можно расширить, т.к если у нас есть произвольное множество Х, имеющее мощность континуум, то оно будет эквивалентно (или равномощно) множеству рациональных чисел. Если это можно использовать как решение, то у меня опять возникает трудность: как именно составиет биекцию между множеством рациональных чисел и подмножеством действительных???

Автор: lapp 27.04.2006 10:33

> Вроде бы наоборот - каждый n-ный член ряда Sb больше n-ного члена
> ряда Sa, а значит и сумма больше.
Да, конечно. Перепутал индексы.

> Множество действительных чисел(наше множество X) имеет мощность континуум.
> Множество рациональных чисел - это подмнодество действительных чисел и оно
> имеет мощность континуум.
Нестыковочка. Рациональные числа счетны.

> Если любое бесконечное множество объединить с не более, чем счетным,
> то объединение будет эквивалентно исходному множеству, т.е мощность
> останется неизменной. Значит S имеет мощность континуум.
Что-то я совсем потерял нить.. Не вижу никакой связи этого примера с условиями задачи

> Наверное, этот пример можно расширить, т.к если у нас есть произвольное множество Х,
> имеющее мощность континуум, то оно будет эквивалентно (или равномощно)
> множеству рациональных чисел.
Опять та же ошибка. Множество рациональных чисел счетно!

> Если это можно использовать как решение, то у меня опять возникает трудность:
> как именно составиет биекцию между множеством рациональных чисел и
> подмножеством действительных???
Если имеется в виду несчетное подмножество действительных чисел, то никак. А вообще я никак не пойму твоих рассуждений, так что кончу отвечать и начну говорить сам. Только сразу скажу, что задачу я не решил, хотя думал долго..

Итак, нам нужно доказать, что множество всех конечных и счетных подмножеств (S) континуального множества (X) континуально.
Довольно легко получить сразу оценку снизу.
Из данного нам множества S выделим подмножество, состоящее из одноэлементных множеств. Биекция этого множества на изначальное множество X проводится естественным образом - каждому из этих одноэлементных множеств ставится в соответствие сам этот элемент. Таким образом, у множества S обнаружено континуальное подмножество, что означает, что мощность S не меньше континуума.

Осталось доказать, что она не больше континуума . Но это-то я никак не могу сделать! Утверждение кажется в высшей степени правдоподобным, но точное доказательство ускользает.. Не могу ограничить мощность сверху, кроме как алефом-2. Я подумаю еще денек, а там видно будет.

Надин, если что-то непонятно - спрашивай смелее. Мне показалось, что ты не совсем верно поняла условие. А может, я не совсем верно понял тебя

Автор: Надин 28.04.2006 3:40

Это конец... Конечно все не правильно...
Ужасно... Клинит...
Я все понимаю, спасибо. Доказывать через сравнение мощностей тоже пыталась, столкнулась с той же проблемой и препод сказал, что можно легче, а как не намекнул даже...

Автор: Надин 28.04.2006 4:17

Так. У множества S обнаружили континуальное подмножество. Если к этому подмножеству присовокупить подмножество имеющее мощность меньше континуума,то мощность останется континуумом. Если найдется еще одно подмножество, можность которого равна континууму,то их объединение опять не превзойдет континуума.

Моя предудущая идея состояла в приведении не белее чем счетного подмножества мощности континуума известного континууального множества. Далее воспользоваться тем, что при добавлении множества с меньшей или равной мощностью мощность не изменится. А потом сослаться на равномощность всех континуальных.

Бред какой-то. ничего в голову не лезет...

Автор: lapp 28.04.2006 7:16

Уфф... Есть решение!
Вчерашнего часа за чашкой кофе мне не хватило, но сегодняшний эспрессо помог. Вообще, непозволительно тратить на такую ерунду столько времени. Тупею..

Я долго пытался ее решить в абстрактном виде, как она дана. И только потом решил попробовать на конкретном представлении. И оказалось, что решать ничего не надо, все и так ясно. Как я мог просмотреть такую простую аналогию?? Кошмар..

Итак, у нас есть оценка снизу - мощность не меньше континуума. Попробуем получить оценку сверху.
Для начала установим биекцию между исходным множеством Х и отрезком действительных чисел [0,1] - сие возможно, так как они равномощны. Теперь возьмем произвольный элемент множества S - то есть любое счетное или конечное подмножество множества Х. В соответствии с установленной биекцией оно отображается в счетное (или конечное) множество действительных чисел на [0,1]. Поскольку это множество счетно (или конечно), существует способ его занумеровать. Занумерованное множество чисел суть последовательность. Таким образом, элементы множества S отображаются в последовательности (конечные или бесконечные). Но соответствие не однозначное, так как две последовательности из одинаковых чисел, расположенных по-разному (например, (1, 2) и (2, 1) ), соответствуют одному элементу S (в данному случае множеству из чисел 1 и 2). Таким образом, множество всех последовательностей действительных чисел включает образ множества S как подмножество. Теперь если мы докажем, что множество всех последовательностей действительных чисел имеет мощность континуума, то мы получим оценку сверху для нашего S.

Рассмотрим произвольную последовательность действительных чисел:
{a, b, c, d, e, ...}
Каждое из этих чисел представим десятичной записью:
a = 0, a1 a2 a3 a4 a5 ...
b = 0, b1 b2 b3 b4 b5 ...
c = 0, c1 c2 c3 c4 c5 ...
d = 0, d1 d2 d3 d4 d5 ...
e = 0, e1 e2 e3 e4 e5 ...
...
Здесь каждая буква с индексом - это цифра от 0 до 9, между ними нету пробелов (я поставил для читабельности), это цифры одного числа. В начале идет ноль с запятой, так как все они меньше единицы. Теперь образуем новое число z по следующему правилу:

Тут черточки (это не минусы!) показывают порядок, в котором берутся цифры:

z = 0, a1 a2 b1 c1 b2 a3 a4 b3 c2 d1 e1 d2 c3 b4 a5 a6 b5 c4 d3 ...

- то есть мы обходим всю таблицу нашей последовательности по такому серпантину, змейкой.
Легко понять, что образованное таким способом число z является уникальным для каждой последовательности. Более того, имея его запись, можно восстановить исходную последовательность, записывая его последовательные цифры в таблицу змейкой.

Тем самым мы получили взаимно-однозначное соответствие между множеством всех последовательностей действительных чисел на [0,1] (назовем его А) и самим множеством действительных чисел на [0,1]. Это доказывает, что множество А имеет мощность континуума.

Наше множество S отображается в подмножество множества А, а значит его мощность не превосходит мощности А, кояя есть континуум. Ранее мы получили оценку снизу, тоже равную континууму. Таким образом, множество S имеет мощность континуума.

Вот такие дела.. Извини за задержку!

Автор: Надин 29.04.2006 4:58

Спасибо большое за помощь!!! Все стало на свои места. Спасибочки!!!!

Это была интересная задача(длинной почти в полсеместра))). Спасибо, что ее длина уже закончилась)))

Автор: lapp 29.04.2006 9:01

Я подумал, что использованный здесь метод "змейки" требует более наглядного представления - черточки не очень хорошо передают красоту и изящество, а главное - потенциальную силу этого метода. У меня есть один снимок, который вполне годится для иллюстрации всего это, на мой взгляд. Надеюсь, он поможет тебе закрепить пройденный материал .
Картинку я поместил в теме Фотография, а тут даю ссылку на нее:
[attachmentid=3234]
- а также на тот пост:
http://forum.pascal.net.ru/index.php?showtopic=6163&pid=67617&st=80&#entry67617
Любуйся! Правда, похоже?

Может, тоже похожа на змею?..

P.S.
Кажется, показать картинку в двух постах не получается.. а жаль!
На предварительном просмотре она была видна.

Автор: Надин 2.05.2006 2:43

Змеюка просто прелесть!!!

А на счет метода обхода это не сложно,можно составить множество вариантов обхода (в свое время на паскале нам этим мучили)

Вообщем, ОГРОМНОЕ СПАСИБО!!!!!!!!!!!!

P.S: Что-то слишком много змей!!!!