Версия для печати темы

Автор: helpmeplease 30.09.2006 18:45

ПОМОГИТЕ ПЛИЗ С РЕШЕНИЕМ ХОТЯ БЫ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЭТИХ ЗАДАЧ!!!зАРАНЕЕ ОГРОМНОЕ СПАСИБО!!!

1)Найдите 2 числа, сумма, произведение и частное которых равны.

2)Сколькими способами можно раскрасить 6 граней куба шестью красками так, чтобы по-разному раскрашенные кубики не переходили один в другой или при каком вращении?

3)Паук соединил связной паутиной все восемь ушлов комнаты 3x3x3.Может ли общая длина паутины быть меньше 19?

4)Разрежьте бумажный прямоугольник 1.5смх4см на две части, которыми можно оклеить куб со стороной 1 см.

5)Найдите закономерность и укажите пропущенный член последовательности:0;4;18;48; ? ; 180;... .(пропущенный член это ?)

6)На складе лежат 27 деталей, промаркированных первым и вторым сортом. Детали одинакового сорта весят одинаково, и каждая деталь второго сорта немного легче детали первого сорта, Известно что ровно одна из деталей промаркирована неправильно(но неизвестно какого она сорта), Покажите что ее можно наверняка выявить за три взвешивания на чашечных весах без гирь.

7) Вычислите максимальную площадь лежащего на координатной плоскости многоугольника, дающего в проекциях как на оси координат, так и на прямую у=х отрезки единичной длины.

8)Найдите пересечение двух тетраэдров, вписаных в куб(так что вершины одного тетраэдра-четыре вершины куба и вершины другого-оставшиеся 4 вершины куба, а ребра тетраэдров-диагонали граней куба). Какую часть объема куба составляет это пересечение тетраэлров?

9)Двое играющих по очереди проводят на плоскости несовпадающие красные или синие прямые(цвет каждый выбирает независимо от предыдущих ходов), никакие три из которых не должны проходить через одну точку. После того, как они проведут по 20 прямых, первый игрок подсчитывает количество точек, в которых пересекаются прямые разных цветов, а второй- количество точек, в которых пересекаются прямые одного цвета. Выигрывает тот, у кого окажется больше точек. Может ли один из игроков выиграть независимо от игры другого?

10) Квадратный ящик со стороной 2006 разбит на квадратные ячейки со стороной 1, в каждой из которых лежит по шару. Внешне все шары одинаковы, но ровно один из них радиоактивен. Имеется детектор, которым можно накрыть любые четыре ячейки, образующие квадрат 2х2, и он покажет, имеется ли в ячейках радиоактивный шар. За какое наименьшее число таких проверок можно наверняка найти этот шар?

Автор: Michael_Rybak 30.09.2006 23:59

Запиши систему и покажи, что она не имеет решения.



Обозначим цвета числами от 1 до 6. Раскраска задается шестеркой ABCDEF, где А - число на передней грани, В - на левой и т. д. Всего возможных раскрасок - 6!. Чтобы посчитать, сколько раз повторяется каждая раскраска, рассмотри кубик с произвольной раскраской, например, ABCDEF, и посмотри, сколько других кубиков из него можно получить всевозможными вращениями. Поделив 6! на это число, получим ответ.



Можно. Это одна из самых сложных здесь, и самых прикольных. Перед тем как я расскажу своё решение, попробуй придумать решение для квадрата:

Паук соединил связной паутиной все четыре угла квадрата 3x3.Может ли общая длина паутины быть меньше 8.2 ?







Вообще похоже на 1*1*0 = 0, 2*2*1 = 4, 3*3*2 = 18, 4*4*3 = 36, 5*5*4=100, 6*6*5=180, но так получается 2 члена, а не 1. Если условие точно правильное, то:

http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=0+4+18&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search

О том, что такое trace и subtrace: http://www.theory.cs.uvic.ca/~cos/inf/neck/TSstringS4.html

Автор: helpmeplease 1.10.2006 3:56

там кой-где в условии была ошибка я исправила! вот правильный вариант 0;4;18;48; ? ; 180;... .(пропущенный член это ?) там после 14 стоит 48 потом ? а потом 180!!!какая тут закономерность??плиз хелп

Автор: helpmeplease 1.10.2006 4:07

6*sqrt2=8.48- сумма длин диагоналей равна 8.48 но ,считаю что можно, так как паук соединил паутину которую он сплел в углах, так как она сплетена на некоторм расстоянии от вершин угла. я правильно мыслю?

Автор: Michael_Rybak 1.10.2006 4:58

0 * 1 * 1 = 0
1 * 2 * 2 = 4
2 * 3 * 3 = 18
3 * 4 * 4 = 48
4 * 5 * 5 = 100
5 * 6 * 6 = 180

Я ведь так и написал сразу, просто ошибся, когда умножал 3*4*4.



Нарисуй схему паутины, как ты ее себе представляешь, и выложи.

Автор: helpmeplease 2.10.2006 22:14

Вот что я думаю по поводу задачи про паука: если рассмотреть вопрос соединения углов комнаты паутиной по диагонали в верхней и нижней плоскостях (квадраты АВСД и А1В1С1Д1) - т.е. отрезки АС, ВД, А1С1, В1Д1 (диагонали квадратов) и длины вертикального ребра. длина паутины = 4*sqrt(3^2 +3^2) + 3 = 4*sqrt(2*3^2) +3= 12*sqrt(2) + 3.
Так вот меня интересует, нужно ли в этой задаче учитывать паутину в углах, т.к. сигнальную паутину паук тянет от сети которую он сплел?
У меня больше нет никаких других решений задачи про паука-так что пожалуйста помогите!!!

Автор: мисс_граффити 2.10.2006 22:26

хм...
а мы это изучали. по дискретке...
сети Штейнера.
могу методичку на мыло скинуть, если нужно.

Автор: lapp 3.10.2006 9:42

Задача совсем простая. Две полосы широной 1, перпендикулярные осям, дают в пересечении квадрат со стороной 1. Третья единичная полоса, перпендикулярная прямой х=у, должна быть сцентрирована на центр этого квадрата.

В результате получается "конфетка", площадь которой вычислить несложно..

Автор: lapp 3.10.2006 10:35

Хорошая задача, согласен

Не знаю, что ты подразумеваешь под сигнальной паутиной, но вообще забудь про паука. Просто нужно соединить все вершины квадрата (куба) так, чтобы из любой в любую можно было попасть по некоторому пути из этих линий, и чтоб суммарная длина этих линий была минимальная.

По поводу квадрата.
Как модератор и раздела Физика, хочу воззвать к вашей физической интуиции. Пленка мыльного пузыря, как известно, в целях "экономии" энергии стремится принять форму поверхности минимально возможной площади. Если рассмотреть пленку, натянутую на длинные спицы (в вершинах квадрата мы видим их проекции, выразившиеся в точки), то дальше, при наличии достаточного физического воображения, можно представить себе мысленный эксперимент...

Допустим, нам удалось придать мыльной пленке вот такую форму:

Ясно, что такой рисунок линий с точки зрения нашей задачи избыточен - одна из сторон внутреннего квадрата явно лишняя. Поэтому рвем одну из поверхностей:

Понятно, что после этого вся картинка изменится. Попробуйте, исходя из физического смысла, предугадать, что именно произойдет..
А если кому удастся - сделайте реальный эксперимент с мыльными пузырями!

Автор: lapp 3.10.2006 11:43

У ходящего вторым (B) есть выигрышная стратегия. Вот она.

Ход 1а. Допустим, А рисует красную прямую.

Ход 1b. Игрок В тоже рисует красную прямую (то есть в общем случае прямую того же цвета), пересекающую нарисованную игроком А.

После этого на листе есть только одно пересечение, и оно одноцветное (то есть в пользу В).

Ход 2a. Теперь А рисует прямую L цвета Х (неважно, какого именно).

После этого на листе осталось первое пересечение и появились N одноцветных и M разноцветных.

Ход 2b. Игрок В рисует прямую цвета \X (не икс, до есть другого цвета), причем параллельно L.

После этого на листе добавляется N разноцветных пересечений и М одноцветных. То есть этот ход полностью нейтрализует предыдущий ход А.

Далее игрок В должен всякий раз рисовать прямую параллельную той, что нарисовал А перед этим. Это позволит ему нейтрализовать каждый ход противника. Учитывая, что после первого хода у В есть преимущество в одно пересечение, он ведет после каждого полного хода, а также и в конце игры.

Автор: helpmeplease 3.10.2006 18:52

у меня получчилось 8/9?? правильно??? если нет-то плиз напишите как вычислить ее площадь!

Автор: Clerick 3.10.2006 20:16

Lapp, а ведь она необязательно должна быть отцентрирована по квадрату, по моему. Она же может проходить одним концом проходить через конец квадрата и площадь не измениться! Теперь искомая площадь это сумма площадей треугольника и трапеции. А если так действительно можно, то helpmeplease площадь получается не 8/9...


Эскизы прикрепленных изображений

Автор: helpmeplease 3.10.2006 20:45

тогда скока получается? плиз хелп!мне завтра сдавать!.........

Автор: Clerick 3.10.2006 21:06

Осталось только одна проблемка найти верхнее основание трапеции...

Автор: hiv 3.10.2006 21:15

Задачка про "конфетку" - кайф
Проще надо быть в решении: берем квадрат со сторонами 1x1 и вычитаем площади отрезанных треугольников. Нетрудно посчитать их катеты = 1-sqrt(2)/2 sqrt-это корень. Т.к. они равны и вместе составляют квадрат, то из квадрата со стороной 1 вычитаем квадрат со строной, которую мы посчитали выше:
1^2-(1-sqrt(2)/2)^2 = корень из 2 минус 0,5 = 0,9142135623730950488016887242097
^-это возведение в степень.

Автор: Clerick 3.10.2006 21:22

Да, действительно надо проще быть в решении, час пробился ни к чему ни пришел

А почему 1-sqrt(2)/2?

Автор: lapp 4.10.2006 5:56

Если последняя полоса сдвинута от центра, площадь меняется. Попробуй сдвинуть сам и увидишь: с одной стороны добавляется кусок (зеленый), а с другой убирается (рыжий); но рыжий - больше.

Пояснения к вычислению площади тоже на рисунке..

Автор: lapp 4.10.2006 10:23

Похоже, как тут ни крутись, а 1003^2+2 вынь да положь..

Автор: lapp 4.10.2006 12:18

Уф, успел.. По дороге домой понял, что последнюю четверку проверять не нужно. Так что, минус один.

1003^2-1+2 = 1003^2-1 = 1006008
в формуле ошибка, заметил volvo (см. ниже)
Правильно:
1003^2-1+2 = 1003^2+1 = 1006010

У кого есть еще соображения?

Автор: Michael_Rybak 4.10.2006 16:15

Вы показали, что *достаточно* s/4+1 ходов. Я думаю, еще надо показать, что меньше нельзя.

Сформулируем более общую задачу.

Имеем s=2006^2 клеток, из которых одна радиоактивна. За 1 ход можем выбрать *не больше чем* четыре *произвольных* клетки и узнать, есть ли среди них радиоактивная. Определить необходимое кол-во ходов.

Становится понятно, что каждой проверкой мы фактически разбиваем множество клеток на 2 группы, и узнаем, в какой из них радиоактивная.

Понятно, что нам всегда менее выгоден вариант, когда она оказывается в *большем* из двух множеств, если, конечно, все тестируемые клетки еще не подлежали проверке.

Первыми s/4-2 ходами мы, в худшем случае, ничего не найдем, и у нас останется >=8 клеток (больше, если мы, зачем то, проверяли какие-то клетки больше одного раза). Для восьми мы, очевидно, ничего лучшего, чем бинарный поиск, мы не придумаем: делим пополам, выбираем половину, в которой радиоактивная, всего 3 хода. Раз для восьми нужно 3 хода, то и для >=8 нужно >=3.

Таким образом, быстрее, чем за s/4-2+3 = s/4+1 нельзя решить задачу *более общую*. Действительно, изначально у нас можно было выбирать не <=4, а ровно 4 (среди которых, в принципе, могут быть и уже проверенные), и не произвольные клетки, а именно образующие квадрат 2х2. А если более узкую задачу можно было бы решить меньше чем за s/4+1 ходов, то можно было бы точно так же решить и более общую.

Итак, нижняя граница равна 1003^2+1, а благодаря Lapp'у мы знаем, что верхняя - тоже.

Автор: volvo 4.10.2006 16:20

Автор: lapp 4.10.2006 16:39

Мне кажется, все проще.
Пока мы еще совсем не знаем, где шар (ни разу не получили срабатывание датчика) очевидно невыгодно перекрывать зоны наложения сенсора, ибо при этом мы тратим ход на уже известный результат. Поэтому нужно выбрать способ обхода с минимальным перекрытием, если возможно - нулевым. Таких способов много, но они все эквивалентны с нашей точки зрения. Именно это мы и делаем. Остальное - дихотомия.

Я что-то упускаю?..



конечно, плюс... Я всегда говорил, что в арифметике я не силен..
volvo, спасибо!

Читать так:
1003^2-1+2 = 1003^2+1 = 1006010

Автор: Michael_Rybak 4.10.2006 16:53

Да, я это и написал, в принципе
Иногда мне кажется, что не хватает формальностей

Автор: lapp 4.10.2006 17:14

Почему-то никто не ответил пока на этот простой вопрос.. Выдохлись?
Ответ, по-моему, такой:
1/2 * 1/3 = 1/6

Рассуждения простые, то есть их и нет почти, если внимательно (мысленно) посмотреть на эту фигуру. Ее вершины - центры граней куба. Вершин, соответственно, 6. Если рассечь куб "посередине" (на два равных параллелепипеда), она разобъется на две равные пирамидки с квадратом в основании. Площадь этого основания равна половине площади грани куба, высота - половине ребра. Отсюда все вычисления и результаты..

Автор: Michael_Rybak 4.10.2006 19:53

Почему выдохлись, ОП просил ведь "хотя бы на некоторые"

Осталось вроде только



Из любых трех деталей 2 окажутся одного сорта. Это значит, что можно выбрать 9 пар с одинаковыми масками (сортами). Положим из каждой пары одну деталь на левую чашу, а другую - на правую.

Если среди задействованных 18ти деталей все были правильно промаскированы, весы окажутся в равновесии, и мы узнаем, что неправильная - среди невзвешенных 9ти.

Если перевесит одна из чаш, это значит, что неправильная деталь - либо среди деталей первого сорта на перевесившей чаше, либо среди деталей второго сорта - на другой. И тех и других в сумме окажется ровно 9, потому что деталей каждого сорта на каждой чаше - одинаковое количество.

Таким образом, из 27ми получили 9. Точно так же получаем из 9ти - 3, а из 3х - одну.

Автор: lapp 6.10.2006 8:56

Michael_Rybak, так что - будем ждать, пока наидрожайшая helpmeplease не соизволит проявить себя хотя бы мановением наивысочайшего мизинца? Похоже, после минования сроков сдачи (ессно, наикратчайших - как же иначе? Скорее, скорее!!! ), ее это все беспокоит не больше, чем манифестация защитников антарктических слонов в княжестве Монако.. (офтоп: странные бывают люди все же: все им стараются, решают, а они ни спасиба и нуваснафига не скажут..) Или все же разберем задачку? Она действительно одна из самых интересных здесь..

Автор: Michael_Rybak 6.10.2006 16:02

Я — с радостью

Пусть О – центр куба ABCDA1B1C1D1. Соединим О со всеми вершинами. Рассмотрим отдельно равные треугольники OAB, OCD, OA1B1, OC1D1. Решим задачу на плоскости для каждого из них.

Не претендуя на оптимальность, выберем в качестве решения точку Ферма, соединив ее с остальными вершинами. Может она называется и не Ферма, но в остроугольном треугольнике точка X, из которой все три стороны видны под углом 120º, имеет наименьшую возможную сумму расстояний до вершин.



Угол AXB равен 120º, значит, угол AXM — 60º. Из треугольника AXM находим, что AX = AM / sin 60º = sqrt(3), XM = AM / tg 60º = sqrt(3)/2. Далее, OX = OM – XM = 3/sqrt(2) – sqrt(3)/2.

Итак, AX + XB + OX = 2AX + OX = 2 sqrt(3) + 3/sqrt(2) – sqrt(3)/2 = 3sqrt(3)/2 + 3/sqrt(2) ≈ 4.7194

Поэтому, применив такую же схему для трех других треугольников, в сумме получим ≈ 4*4.7194 = 18.8776 < 19.

Легко видеть, что это решение можно улучшать и улучшать, но 19 – значит 19

Автор: helpmeplease 7.10.2006 21:46

спасибо вам большое!!!просто у меня были некоторые проблемы с компом!!!