как сравнить эти да числа?? и какой вообще ответ?
Если числа натуральные, то так.
a^b ? b^a
Логарифмируем по основанию е (при этом знак неравенства не меняется):
ln (a^b) ? ln (b^a)
b ln a ? a ln b
Числа натуральные, можно делить:
(ln a) / a ? (ln b) / b
Получается, нужно сравнить значения функции f(x) = (ln x) / x в точках a и b
Исследуем эту функцию. Найдем экстремумы на [1; +∞]. Берем производную
((ln x)/x)' = ((ln x)' x - x' (ln x)) / x^2 = ((1/x)x - 1(ln x)) / x^2 = (1 - ln x) / x^2
Таким образом, на [1; +∞] единственным нулем производной будет x = e. При бОльших x функция монотонно убывает, поэтому если a>2 и b>2, то из a>b следует (ln a) / a < (ln b) / b, откуда a^b < b^a.
Случаи, когда одно из чисел равно 2 или 1, тривиальны.
Если же числа действительные, то сравнить сложнее, т.к. может выполняться и равенство a^b=b^a, когда одно число больше е, а другое - меньше. Там надо смотреть подробнее.
ты знаешь мне нужно взять любую грань ( пускай даже не точную) при которой если числа больше нее то (в действительных) это пусть не строгое неравенство точно можно точно поределить, a^b < = b^a при a,b > n например
В принципе, тебе уже ответили.
При действительных а,b>e из a>b будет следовать a^b < b^a.
а какэто доказать?
Доказать можно, например, вот так:
Пусть a, b - действительные числа, бОльшие е.
((ln x)/x)' = ((ln x)' x - x' (ln x)) / x^2 = ((1/x)x - 1(ln x)) / x^2 = (1 - ln x) / x^2
а вот это почему?
а если 0<a<1/e и 0<b<1/e
На самом деле мне нужно найти Lim X^x x->0
помогите пожалуйста