Версия для печати темы

Автор: Reflex 27.10.2006 17:58

как доказать что функция (1+1/x)^x непрерывна? (без логорифмов и числа е)

Автор: Reflex 27.10.2006 19:31

или монотонна

Автор: мисс_граффити 27.10.2006 22:11

в точке х=0 у нее разрыв... уже не непрерывна.
значит, доказывать надо монотонность?

Автор: Reflex 28.10.2006 4:10

имелось ввиду на луче 1 до +оо

Автор: мисс_граффити 28.10.2006 16:09

ну, я же не ясновидящая!
у нее там даже нет подозрительных на разрыв точек...
разве что посчитать пределы при x->00... так это второй замечательный.
давай ты все же определишься, что тебе с ней надо сделать?

Автор: Reflex 28.10.2006 16:39

мне надо доказать что функция (1+1/x)^x при x -> +00 имеет предел. В инете я нашла только для последовательности.

Автор: мисс_граффити 28.10.2006 16:56

мдя....
1. доказать, что функция непрерывна
2. доказать, что функция монотонна
3. доказать, что (1) и (2) на луче 1 до +оо
4. доказать, что при x->00 имеет предел.

ты считаешь, что все эти задания - одно и то же?!

З.Ы. ты определение последовательности знаешь? Это вообще-то тоже функция...

Автор: lapp 28.10.2006 17:05

мисс_граффити, я готов понять твой справедливый гнев, но это далеко не первый (и, думаю, далеко не последний) случай неточной/неверной постановки задачи. Происходит все, думаю, не по злобе, а по незнанию бОльшему, чем думается самомУ автору. Но поскольку никто особо не страдает, а постепенное приближение к истине в процессе обсуждения условия все равно работает в положительную сторону, я бы предложил тебе не возмущаться так уж сильно..
Так или иначе, вопросы эти все же связаны, да. И то, что Reflex по незнанию вводила кого-то в заблуждение - не вина ее, а беда. Надеюсь, все пошло ей на пользу .
Давайте по существу теперь

Может, просто найти производную и доказать ее положительность? Из монотонностиЮ наряду с пределом последовательности, будет следовать предел функции (I mean, можно доказать).

Автор: Reflex 28.10.2006 20:04

К ввопросу о заданиях задание одно:
"Доказать что функция f(x)=(1+1/x)^x при x->+00 имеет предел"
если можно, то без производной. И если можно доказательство.

Автор: мисс_граффити 28.10.2006 20:17

ты же говоришь, что нашла про предел последовательности?
какая разница - доказательство будет то же....
это второй замечательный предел, который справедлив как для ф-ций, так и для последовательностей.

Автор: Reflex 28.10.2006 21:05

нет там только для F(X) где x принадлежит N

Автор: мисс_граффити 28.10.2006 22:12

хорошо...
считаем, что как доказывается про последовательность - ты уже знаешь.
пусть теперь x->00, принимая и дробные значения.
очевидно, что существует 2 целых числа, таких, что n<=x<n+1
тогда:
(1/n)>=(1/x)>(1/(n+1))
(1+1/n)>=(1+1/x)>(1+1/(n+1))
(1+1/n)^(n+1)>(1+1/x)^x>(1+1/(n+1))^n
Т.к. х->00 n->00 (то, что в квадратных скобках - пишется внизу...)
lim[n->00](1+1/n)^(n+1)=lim[n->00]((1+1/n)^n)*(1+1/n)=e
аналогично для (1+1/(n+1))^n.
Следовательно (по теореме о трех полицейских) lim[x->00](1+1/x)^x=e

Автор: Reflex 29.10.2006 0:04

(1+1/n)^(n+1)>(1+1/x)^x>(1+1/(n+1))^n а как этот факт доказать?

Автор: мисс_граффити 29.10.2006 3:44

а что может получиться, если бОльшее число возвести в бОльшую степень?
чтобы поставить знак между 1024^1023 и 32656^32755, ты будешь вычислять оба значения, или сразу увидишь?
или ты хочешь доказывать абсолютно все?
тогда еще докажи, что для любого дробного x существуют такие n и n+1....

Автор: Reflex 29.10.2006 4:03

ой да точно... простите, а я прочитала:

(1+1/n)^(n)>(1+1/x)^x>(1+1/(n+1))^(n+1)

Автор: мисс_граффити 29.10.2006 4:44

Бывает ))
В следующий раз, когда будешь что-то спрашивать - сначала уточняй задание, ладно? А то обидно как-то
З.Ы. А обращаться лучше на "ты". Я еще маленькая...

Автор: Reflex 29.10.2006 12:07

ОК )))
Большое тебе спасибо