Версия для печати темы
Форум «Всё о Паскале» _ Математика _ X^x
Автор: Reflex 9.11.2006 22:34
как найти предел этого и доказать что это предл?
Автор: мисс_граффити 9.11.2006 23:07
при х стремящемся к 1 предел будет равен 1.
доказать можно через определение предела.
устроит такой ответ?
нет? тогда пиши нормальное условие.
Автор: Reflex 10.11.2006 0:05
забыла, не отрицаю x->0 помоему ответ 1
Автор: мисс_граффити 10.11.2006 2:23
тогда можно так решать:
1) найдем предел ln(x^x)
ln(x^x)=xln(x)=ln(x) /(1/x)
по правилу Лопиталя получим, что предел равен -х
2) ln(x^x)=-x
x^x=e^-x
при x->0 это стреимтся к 1.
но такой прием справедлив при х->0+
Как быть при х->0- подумай сама. Это несложно. Получится та же единица.
Автор: Reflex 10.11.2006 2:36
правилу Лопиталя а что это за правило?
Автор: мисс_граффити 10.11.2006 2:53
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)
если f(x)/g(x) - неопределенность вида 0/0 или 00/00.
Автор: Reflex 10.11.2006 7:26
а проще нельзя никак?
Автор: мисс_граффити 10.11.2006 19:48
может быть, можно.... не знаю.
по-моему, достаточно простое решение.
Автор: Гость 10.11.2006 20:15
правилу Лопиталя факт отнудь не тривиальный
Автор: мисс_граффити 10.11.2006 20:43
здрасти.
это правило в курсе матанализа дают обязательно при изучении пределов. обычно в задачниках целый блок примеров на него...
у меня однокласснице даже на худграфе про него рассказывали!
Автор: Гость 18.11.2006 21:33
правилом Лопиталя вообще пользоваться не рекомендуют!!нужно уметь вычислять пределы используя другие средства, например разложения функций!В данном случае, просто используете основное логарифмическое тождество, раскладывает логарифм, предварительно прибавив и вычив единицу, потом домножеаете разложение на х и раскладываете экспоненту и получаете единицу.
Автор: мисс_граффити 19.11.2006 4:23
1. Кто не рекомендует? Пискунов очень даже рекомендует...
2. Зачем нужно пользоваться чем-то другим, если есть удобный способ? Можно научиться чай через нос пить и спать на потолке - но какой в этом смысл?
Автор: Гость 19.11.2006 20:42
Пискунов - это учебник по математическому анализу что ли?
Я думаю, что он не рекомендует, а просто формулирует 2 правила Лопиталя и доказыват их, приводит пример и все.
В задачниках Демидовича и Виноградова на Лопиталя отводится 1-2 странички, а на обычное вычисление пределов сильно больше, и это не просто так.
Рекомендуют не пользоваться в таких местах как мехмат, вмик МГУ и НМУ.
А почему не рекомендуется, потому что надо уметь вычислять предел другими способами, и большинство пределов вычисляются без использования Лопиталя. В любом месте, когда Вы найдете предел лопитированием, Вас попросят написать правило Лопиталя и потом попросят найти предел без Лопиталя=))
Автор: мисс_граффити 20.11.2006 20:37
1. Пискунов - это автор.
2. Он конкретно пишет, что применение правила Лопиталя - это удобный способ.
3. Еще бы ) С Лопиталем за 2 странички не проблема разобраться - там же все просто. Зачем на легкую тему много места отводить?
4. Ну, я зачет по матану не сдавала.... А на экзамене все задания на пределы были сформулированы так: "Найти предел двумя способами: по правилу Лопиталя и....".
А сейчас, когда поиск предела - не самоцель, а этап в решении другой задачи, вообще никого методы не волнуют.
Слушай, ну давай все тексты писать от руки - надо уметь переписывать большие объемы! А то на компьютере слишком легко.
И еду на костре готовить - а то на плите ручку повернул - и все. Надо уметь дрова рубить! И воду из колодца носить.... И никаких стиральных машинок! Надо уметь стирать руками....
Автор: lapp 21.11.2006 7:11
Цитата(Гость @ 19.11.2006 17:42)
Рекомендуют не пользоваться в таких местах как мехмат, вмик МГУ и НМУ.
Гость, ты так и не ответил на вопрос, что за таинственные личности "не рекомендуют" (поставил в кавычки, потому что звучит это тут как-то странновато..). Все это как-то беспочвенно и голословно. Пожалуйста,
уточни, откуда у тебя такая информация про Мехмат и НМУ.
И еще скажи, что есть правила Лопиталя по большому счету, как не разложение в ряд?..
Ограничения на ПЛ могут быть только в двух случаях:
1. ПЛ еще не прошли;
2. в условии явно оговорены методы решения.
Все остальное - досужие фантазии..
2
мисс_граффити: ты забыла про добывание огня палочками!
Поди, не умеешь.. Двойка тебе!
Автор: red_alex 22.11.2006 0:22
Цитата
И еще скажи, что есть правила Лопиталя по большому счету, как не разложение в ряд?..
А можно поподробнее вот этот момент
Автор: lapp 22.11.2006 9:21
Цитата(red_alex @ 21.11.2006 21:22)
А можно поподробнее вот этот момент
Можно. Только костяк, без особых строгостей..
Допустим, у нас есть неопределенность типа 0/0 :
lim f(x)/g(x) = ? ,
dx->0
где dx=x-x0.
Представляешь каждую из функций в виде суммы нескольких членов ряда Тейлора:
f(x) = f(x0) + f'(x0)*dx + ..
g(x) ...
- берем столько членов, сколько надо (до ненулевых коэффициентов), хотя для обычной формулироваки достаточно двух. Подставляем в выражение для предела:
lim f(x)/g(x) = lim (f(x0)+f'(x0)*dx)/(g(x0)+g'(x0)*dx)
Замечаем, что f(x0)=g(x0)=0, и отбрасываем их. Остается:
lim f(x)/g(x) = lim (f'(x0)*dx)/(g'(x0)*dx)
dx сокращаются, и получаем искомое соотношение..
Автор: Гость 22.11.2006 22:26
Цитата
lim f(x)/g(x) = lim (f'(x0)*dx)/(g'(x0)*dx)
получаем lim f(x)/g(x) = f'(x0)/g'(x0)
вот это странный момент, получается, что предел отношения функций можно заменить отношением значений производных соответсвующих функций, взятых в точке, в которой имеем неопределенность. Вообще говоря это неверно, поправьте пожалуйтса, если я где то что-то не понял.
red_alex
P.S. чет не отправляется сообщение с моего аккаунта=)
Автор: мисс_граффити 23.11.2006 3:58
Цитата
получается, что предел отношения функций можно заменить отношением значений производных соответсвующих функций, взятых в точке, в которой имеем неопределенность.
это - правило Лопиталя! мы о нем и говорим... чему ты так удивляешься?
Автор: Гость 24.11.2006 1:04
а как на счет того, что существует куча примеров, где нельзя вот так заменить? можно заменить например только отношением вторых-третьих... производных?
ну просто правило Лопиталя гласит, что заменить можно при определнных условиях пределом отношения производных, а не просто отношением=).
Пример: lim[x->0] sinx\x^4 = {по тому как Вы написали} = cos(0)\(4*0) - на ноль делить незя=)
Поэтому доказывают, вообще говоря, эти правила использованием теорем Ролля и Коши!
Автор: мисс_граффити 25.11.2006 1:59
речь про последний шаг...
когда f(x) - это уже n-ная производная от начальной ф-ции.
Автор: Гость 25.11.2006 3:06
эт вы н раз в ряд что ли раскладываете и на ноль делите не под знаком предела?
Автор: lapp 25.11.2006 15:43
Цитата(Гость @ 23.11.2006 22:04)
а как на счет того, что существует куча примеров, где нельзя вот так заменить? можно заменить например только отношением вторых-третьих... производных?
red_alex, я же сказал, что привожу не точное доказательство, а костяк его. Да это и не доказательство, а показательство. Я просто показываю, что
по смыслу это одно и то же. Что касается вторых-третьих производных, то обрати внимание на мои слова выше:
Цитата(lapp @ 22.11.2006 6:21)
- берем столько членов, сколько надо
- то есть если первые производные нулевые, то мы их выкидываем тоже.. Кроме того, вывод о вторых третьих производных можно сделать просто последовтельным многократным применением ПЛ для первых производных..
Цитата(Гость @ 23.11.2006 22:04)
ну просто правило Лопиталя гласит, что заменить можно при определнных условиях пределом отношения производных, а не просто отношением=).
Эти "определенные условия" (если уж завел о них речь, мог мы и привести их..) гласят, что предел производных существует
. И я ни в коем разе не возражаю против этого.
Цитата(Гость @ 23.11.2006 22:04)
Пример: lim[x->0] sinx\x^4 = {по тому как Вы написали} = cos(0)\(4*0) - на ноль делить незя=)
Поэтому доказывают, вообще говоря, эти правила использованием теорем Ролля и Коши!
Ну да, нельзя. И что с того?.. Чем тебя спасут Коши с Ролля в этом случае? На ноль все равно делить нельзя
Просто сделай вывод о том, что предела нет - что еще надо?
red_alex, учись смотреть немного шире и свободнее. Есть много фактов в математике, которые глубоко связаны между собой. И хотя на лекциях и в учебниках все доказывается последовательно одним образом, это не значит, что можно делать только так. Делай, как хочешь - главное, чтоб было правильно и не нарушалась причинность (то есть не надо доказывать теорему Пифагора через sin^2(x)+cos^2(x)=1 ). Умей видеть истинные связи вещей. Зри в корень. Если на двери магазина написано ВХОД, это не значит, что нет другого входа..
Автор: red_alex 25.11.2006 20:13
Цитата
Ну да, нельзя. И что с того?.. Чем тебя спасут Коши с Ролля в этом случае? На ноль все равно делить нельзя Просто сделай вывод о том, что предела нет - что еще надо?
Вот Коши и Ролля спасут=)
Ну вообще говоря, он будет бесконечным, а по тому как Вы пишите, то его не будет в том смысле, что на ноль делить нельзя!
Цитата
Эти "определенные условия" (если уж завел о них речь, мог мы и привести их..) гласят, что предел производных существует
Да, конечный или бесконечный.
Я просто, хочу сказать, что заменять надо пределом отношения каких-то производных, а не оношением производных взятых в особой точке, ибо может получиться не совсем хорошая вещь=)
Да Вы не беспокойтесь, я смотрю вполне широко
Автор: lapp 25.11.2006 20:21
Цитата(red_alex @ 25.11.2006 17:13)
Я просто, хочу сказать, что заменять надо пределом отношения каких-то производных, а не оношением производных взятых в особой точке, ибо может получиться не совсем хорошая вещь=)
???
Выразись чуть яснее, пожалуйста..
Автор: red_alex 25.11.2006 20:23
Цитата
lim f(x)/g(x) = lim (f'(x0)*dx)/(g'(x0)*dx)
воть