Ну вот, как я и обещал, сново мучаю вопросами. На этот раз уравнение с таким условием: "Решить в целых числах уравнение"
(x^2+y^2)(y^2+z^2)=25
Если можно сначало хоть намекните как такое решается, ну а потом, если уж я не додую...
Автор: Lapp 13.12.2006 14:49
Цитата(LuckyI @ 13.12.2006 0:41)
Если можно сначало хоть намекните как такое решается,
Скобки должны быть целыми.. Так? А при перемножении должны давать 25.. Какие ты знаешь целые числа, которые в произведении дают 25?
Автор: Altair 13.12.2006 16:22
Спойлер(Показать/Скрыть)
x = 2, y = 1, z = 2 (2^2+1^2)(1^2+2^2)=(4+1)(1+4)=5*5=25
Цитата
Какие ты знаешь целые числа, которые в произведении дают 25?
1 и 25 или 5 и 5 или 25 и 1 Если теперь записать уравнения, получим выбор (ИЛИ) из 3 систем (И): (x^2+y^2 = 1) & (y^2+z^2 = 25) V (x^2+y^2 = 25) & (y^2+z^2 = 1) V (x^2+y^2 = 5) & (y^2+z^2 = 5) гыыы, нравиться? (записано верно, приоритет И выше поэтому скобки не нужны) Теперь как решать каждую систему. В каждой системе есть 3 переменных - x,y,z. Причем y в обоих. Делаем его - параметром (переносим направо, т.е. выражаем x и z! Получаем: (x^2=1-y^2) & (z^2=25-y^2) V (x^2=25-y^2) & (z^2=1-y^2)V(x^2=5-y^2)&(z^2=5-y^2) Вспоминаем, что корень - неотрицательная величина, следовательно область определения y 1 система [0,1] 2 система [0,1] 3 система [0,2] Итого получаем 7 наборов корней, из которых условиям удовлетворяют конечно не все. Ну и если лень считать:
var x,y,z: byte; begin for x:=0 to 25 do for y:=0 to 25 do for z:=0 to 25 do if (sqr(x)+sqr(y))*(sqr(y)+sqr(z))=25 then writeln(x,' ',y,' ',z) end.
Автор: arhimag 13.12.2006 18:12
Ну надо еще отметить что числа целые и не отрицательные, так как сумма квадратов дает в сумме число дольшее или равное нулю, а то числап -5 и -5 -1 и -25 тоже подходят
Автор: volvo 13.12.2006 18:17
arhimag, а ты сможешь мне показать два ЦЕЛЫХ числа, сумма квадратов которых отрицательна?
P.S. Опять флудить потянуло?
Автор: Lapp 13.12.2006 19:52
Спойлер(Показать/Скрыть)
Цитата(Altair @ 13.12.2006 13:22)
Вспоминаем, что корень - неотрицательная величина, следовательно область определения y
Действительно, корень - величина неотрицательная. Именно поэтому уравнение x^2 = 4 имеет два решения: 2 и -2, то есть Sqrt(4) и -Sqrt(4). Так что отрицательные решения тоже нужно учесть.. Но программа - супер!
Автор: LuckyI 13.12.2006 20:02
Lapp, ну 1 и 25, 5 и 5, 25 и 1... И теперь нужно приравнять каждую скобку к 1 и 25 соответственно и в систему получившиеся 2 уравнеия? И так с каждой парой чисел.. Так или что-то не то?
Altair, как я понимаю там решение? Спасибо. Но пока смотреть не буду...
Автор: Lapp 13.12.2006 20:13
Цитата(LuckyI @ 13.12.2006 17:02)
Lapp, ну 1 и 25, 5 и 5, 25 и 1... И теперь нужно приравнять каждую скобку к 1 и 25 соответственно и в систему получившиеся 2 уравнеия? И так с каждой парой чисел.. Так или что-то не то?
Да, так, только не забывайЮ что это не обычная система, а в целых числах. Так что и методы не обычные.. Но это не значит, что сложные. Скорее, наоборот..
Автор: LuckyI 13.12.2006 20:21
Хех, для меня это скорее "обычная" система.. ))) сейчас попробую решить.. Спасибо! )
Автор: LuckyI 13.12.2006 21:17
Вот только загвоздочка... Переменные то три, а в системе 2 уравнения... Ну вот приравнял я и ту, и ту скобку к 5 x^2+y^2=5 y^2+z^2=5 Тут ведь 2 переменные должны быть равны друг другу... О, до меня в процессе писания этого сообщения похоже дошло... -)
Вот как я рассуждаю, x и y, y и z не могут быть равны, так как находятся в одном уравнение, которое равно 5. А чтобы получить 5, нужно 2 разных числа.
А вот если приравнять к 1 и 25 x^2+y^2=1 y^2+z^2=21 Будут равны x и y? Да еще и можно сказать, что равны 1?
Update: Не, чего-то я хрень какую-то написал. Не понимаю...
Update2: Вот на чем я застопорился: x^2+y^2=5 y^2+z^2=5 Получаю: x^2=5-y^2 z^2=5-y^2 А вот что дальше делать не пойму...
Автор: Lapp 14.12.2006 4:12
> Вот только загвоздочка... Переменные то три, а в системе 2 уравнения... А говорил - обычная для тебя система.. Теперь понял?
> А вот что дальше делать не пойму... перебирать..
Автор: LuckyI 14.12.2006 18:00
Цитата(Lapp @ 14.12.2006 0:12)
А говорил - обычная для тебя система.. Теперь понял?
Угу...
Цитата(Lapp @ 14.12.2006 0:12)
> А вот что дальше делать не пойму... перебирать..
Т.е. выяснив, что x=z нужно подобрать числа, подходящие в эту систему? x^2+y^2=5 y^2+z^2=5 Но это ведь нерационально что ли... Ну, допустим, в этой системе подобрать не трудно... а если бы в правой части уравнения было б не 25, а XXX, например... Как тогда, тоже вручную подбирать? Или я не так понял?
Автор: Lapp 15.12.2006 7:53
Цитата(LuckyI @ 14.12.2006 15:00)
Но это ведь нерационально что ли... Ну, допустим, в этой системе подобрать не трудно... а если бы в правой части уравнения было б не 25, а XXX, например... Как тогда, тоже вручную подбирать? Или я не так понял?
Ты все правильно понял. И именно поэтому твоя задача содержит именно число 25, а не 2179821749219873264. Ты заметил, что в задачах на квадратные уравнения тоже не встречается слишком уж больших чисел? Скажем, 12-значных. Ведь формула верна и для них! Не встречается их потому, что на калькуляторе всего 10 разрядов..
К сожалению, общие методы решения существуют далеко не для всех типов задач. Может, пока ты в школе, у тебя может сложиться впечателние, что методы есть для всего - надо только их пройти . Но это абсолютно не так. Один из моих знакомых (руководитель математического кружка при МГУ) говорил: "Школьники обычно не совсем правильно представляют себе математику. Вот их сначала научили решать линейные уравнения, а потом квадратные. На факультативе в школе их учат решать кубические уравнения. Вот они и думают, что тут, на кружке, они займутся решением уравнений четвертой степени.."
Математика на 99.9999..% (количество девяток возрастает по мере знакомства с ней) состоит именно из нестандартных подходов и нестандартного мышления. Правда, это абсолютно не исключает того, что для того, чтоб уметь это делать, нужно знать как можно больше из того, что было сделано в ней до тебя.
Задачи на целые числа в основном решаются перебором. Но в каждой из них есть что-то, что облегчает этот перебор, сделает его возможным. Так и тут. Составитель твоей задачи главным моментом в ней считал именно применение идей о разложении чисел, о знаках квадратов и т.п. На сам перебор усилия не делается. Да и зачем? Стало понятнее?