Версия для печати темы

Автор: arhimag 18.12.2006 1:59

А мне тут стало интересно, вообще вот у нас есть какая-то функция удовлетворяющая данным условиям, а именно: всюду непрервна и нигде не монотонна, что можносказать про дифференцируемость этой функции, правда ли то что какая бы ни была бы функция, то она нигде не дифференцируема?

Автор: arhimag 20.12.2006 3:18

Доказал что всюду она диференцируема быть не может, теперь интересно, может ли она быть хоть где-то дифференцируема. Странно зачем нужна такая функция, правда фактов за ней интересных тянеться много.

Автор: Lapp 20.12.2006 9:26

Не совсем понимаю, чем в данном случае доказательство про "всюду" так уж сильно отличается от доказательства про "хоть где-то". Покажи свое доказательство - посмотрим..

Автор: arhimag 20.12.2006 11:48

ну доказательство про всю использует что производная если достигает a и b,то она достигает все значения между a и b. А вот как доказать что она не может быть дифференцируема в точке я пока придумать не могу.

Автор: Lapp 20.12.2006 12:01

Честно пытался вникнуть - не получилось. Напиши подробнее, пожалуйста.

А вообще-то эта функция может иметь производную в отдельных точках.. Пример: та самая "молния", промодулированная cos^2(x). В п/2 у нее будет производная, равная нулю. При этом она сохранит немонотонность, насколько я понимаю.

Автор: arhimag 20.12.2006 12:06

Кхм... тоесть ты хочешь сказать, что если наша молния - f(X), то cos(f(x)) - непрерывна, не монотонна и имеет производную в точке 3/2? А можно по подробнее? мое доказательство вывешу ближе к вечеру.

Автор: Lapp 20.12.2006 12:32

Нет, если молния это f(x), то
g(x) = f(x)*cos^2(x)
- вот эта функция имеет производную, равную нулю в точке п/2 (то есть приблизительно 1.5707..)

Автор: arhimag 20.12.2006 19:05

А... понял, но как это доказать все равно не очень вижу, вааапще кажеться страннным что эта функция будет удовлетворять нашим требованиям, ну про то что она будет не прерывна, я сно она являеться произведением двух непреррывных функций, но вот почему она все равно будет не монотонна, не ясно а про то что она будет дифференцируема еще не думал, но этот факт тоже не кажется тривиальным.

а про мое доказательство:

смотри ведь если эта функция нигде не монотонна то на любом интервале она будет иметь производную любого знака, тогда выберем любую точку у будем брать интервалы в которой лежит эта точка и каждый из них будет как минимум в два раза меньше предыдущего, и при этом на его концах будут разные знаки. Заметим что эта последовательность стремиться к нашей выбранной точке. Тогда по теореме о том, что производная принимает все значения на отрезке, то в этой точке производная будет равна 0, ну а тогда для любой точки она равна 0 - противоречие.

Автор: Lapp 20.12.2006 19:26

Согласен.

Автор: arhimag 21.12.2006 0:17

lapp, чет я не допираю как доказать что новая функция не монотонна, и то что у нее есть производная в точке п/2.

Автор: Lapp 21.12.2006 12:58

arhimag, я тоже кое-что не догоняю.. Вот ты пишешь:

Что-то у меня с памятью.. Не могу вспомнить такую теорему. Приведи формулировку, плз..

Автор: arhimag 21.12.2006 17:41

я то тебе сейчас приведу, а ты мне?
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то функция f′(x) принимает на интервале (a, b) все промежуточные значения между f′+(a) и f′−(b).

Автор: Lapp 22.12.2006 13:45

arhimag, спасибо за теорему, но я все же должен взять свои слова назад..

Нет, не согласен

Автор: arhimag 22.12.2006 19:55

Почему?
Кстати ты мне объяснишь почему F(x) * cos^2 x нигде не монотонна и прито в п/2 дифференцируема?

Автор: arhimag 23.12.2006 3:02

Доказал, что удовлетворяет нашим условиям, но вот почему она дифференцируема в точке п/2 досихпор не понимаю.

Автор: arhimag 23.12.2006 3:38

Кхм... lapp, ты прав, доказал и второе, но думал над этим много. мне кажеться что reflex завела интересный разговор, можно еще поисследовать подобные функции.