Даны три некомпланарных вектора a,b,c. Доказать, что векторы a+2b-c, 3a-b+c, -a+5b-3c компланарны.
Подскажите, как решать, у меня даже никаких предположений!
Для того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельных плоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю. Мне кажется, вначале нужно принять координаты векторов: a(x1,y1,z1), b(x2,y2,z2),c(x3,y3,z3). Получается:a+2b-c(x1+2x2-x3, y1+2y2-y3), 3a-b+c(3x1-x2+x3,...),-a+5b-3c(-x1+5x2-3x3,...). Затем, если не ошибаюсь, составляем детерминант:
x1+2x2-x3 y1+2y2-y3 z1+2z2-z3
3x1-x2+x3 3y1-y2+y3 3z1-z2+z3
-x1+5x2-3x3 -y1+5y2-3y3 -z1+5z2-3z3
Вычисляя значение детерминанта, нужно убедиться, что оно равно 0.
Прошу прощения за ненаглядный вывод детерминанта