Версия для печати темы

Автор: улЫбастик 22.10.2007 1:00

необходимо доказать, опщем, что выражение ab(a*a+b*b)(a*a-b*b) кратно 5.

[a*a есть вторая степень числа a]

идея, мне кажется, заключается в преобразовании данного выражения в произведение
пяти последовательных чисел (типа (а-2)(а-1)(а+1)(а+2) ), что, как известно, всегда кратно 5.

а как сию хитростть провернуть хотелось бы услышать от Вас)

Автор: Malice 22.10.2007 1:59

Я не математик, так что не ржать

Автор: улЫбастик 22.10.2007 2:08

Malice, все гениальное - просто, - и это - яркий тому пример)) но не сочти за трудность обьяснить:
>> пусть a,b=[0..9]
>>a^5=x*10+a

Автор: Tan 22.10.2007 2:32

Обычно такого типа задания безотказно доказываются методом мат индукции.

Автор: Malice 22.10.2007 2:32

Исследуем разрядность, значит старшие разряды не интересуют.

Как то так получилось, что число в пятой степени заканчивается на ту же цифру, т.е. :
a^5=(a^5 div 10) *10 +a,
(a^5 div 10) заменил на Х и отбросил дальше, как не влияющее на младший разряд.

Автор: Jupiter 25.10.2007 3:58

ab(a*a+b*b)(a*a-b*b)=ab(a^4-b^4)=b*a^5-a*b^5
Теперь будем рассуждать так:
Последняя цифра натурального числа от 1 до 9, равна последней цифре его пятой степени (легко проверяется перебором);
Тогда, пусть последняя цифра числа a равна x, а числа b равна y. Значит последняя цифра числа b*a^5-a*b^5 будет равна последней цифре числа y*x^5-x*y^5 или числа y*x-x*y или 0. Очевидно, что число, оканчивающееся цифрой 0, делится на 5. Ч. т. д.

Автор: улЫбастик 19.11.2007 20:59

если кому интерестно, вот решение:

число а можно представить в виде:

1. a=5k
(если делится на 5 без остатка)

2. а=5k+1

(при делении на 5 остаток 1)

3. а=5к+2

(остаток 2)

4. а=5к+3 тоже, что и а=5к-1

(остаток 3)

5. а=5к+2 тоже, что и а=5к-2

Подставив в формулу по очереди, увидим что в любом случае число кратное 5.