Версия для печати темы

Автор: sintanial 22.12.2007 22:21

Вот нужно вычесть предел Lim (arcsin(x)/x)^1/x^2 где x->0 .Преподаватель сказал нужно использовать только либо правило Лапеталя, либо формулу тейлора. По тейлора не получается(И по лапеталя тоже =)) так как я её плохо знаю и наверно что то не верно делаю( только не давно начали изучать и как то еще не точно понял). Помогите вычесть предел плиз, и желательно с разжевкой, что бы если такой опять попался то понял бы как его решать =)

Автор: Лилия 23.12.2007 5:25

Lim (arcsin(x)/x)^1/x^2 где x->0 , там 1 деленное на х в квадрате???

Автор: Nord 23.12.2007 6:17

Пусть lim (arcsin(x)/x)^1/(x^2) =A при x->0
A=exp(ln A)
ln A=ln lim (arcsin(x)/x)^1/(x^2)=lim ln((arcsin(x)/x)^1/(x^2))=lim (1/(x^2))ln((arcsin(x)/x)=[0/0]=[дифференцируем числитель и знаменатель и заменяем arcsin(x) на x]=lim (1-sqrt(1-x^2))/(2x^2*sqrt(1-x^2))=[домножаем числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю]=
=lim 1/(2*sqrt(1-x^2)*(1+sqrt(1-x^2)))=1/4
A=exp(1/4)=e^(1/4)

Спрашивай, если что непонятно

Автор: Лилия 23.12.2007 9:56

по моему там другой ответ будет... у меня по тейлору получилось что предел равен e^(1/6)

Автор: Nord 23.12.2007 13:28

Решение в студию

Автор: sintanial 23.12.2007 14:40

спасибо =)

Добавлено через 16 мин.

Вот здесь я что то не до понял, как то странно. Ты один раз диффиренцировал или два ?
Мне не понятно в этом выражении lim (1-sqrt(1-x^2))/(2x^2*sqrt(1-x^2)). Я так понимаю что ты арксинус(х) заменил на х по эквевалентности, а как ты вверху заменил его, ведь там произведения нету(вроде как в универе обьясняли что эквевалентности можно применять только в умножении или в делении)

Автор: Nord 24.12.2007 5:39

del

Автор: Лилия 24.12.2007 11:10

Я решала по формуле Тейлора, разложила arcsin(x)=x+x^3/6+o(x^5) ,потом exp(lim (1/x^2)*ln(arcsin(x)/x))=exp(lim (1/x^2)*((x+x^3/6+o(x^5)-x)/x)=1/6... я проверила в мапле, он тоже показал ответ 1/6.... Хотя я тоже могла ошибиться....

Автор: Nord 24.12.2007 15:41

Извиняюсь, я ступил. Нельзя в разности на эквиваленты заменять. Вот решение по Тейлору:


Спасибо Лилии

Автор: sintanial 26.12.2007 0:06

спасибо всем. И еще вопрос, кто нибудь может мне обьяснить что значит о маленькое ? В книгам по матану читал что это сравнение с бесконечно малой, препод вообщ почти не обьяснял, так поверхностно. Можете пожалуйста немного объяснить ?

И еще кое что, а где взять ряд тейлора для arcsin(x) и других обратных трегонометрических функций?

Автор: sintanial 26.12.2007 2:50

ЛЮДИ ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА, МОЖЕТЕ ПОМОЧЬ РАЗЛОЖИТЬ e^(-x^2/2) ПО ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА ДО x^3. ОООООЧЕНЬ СРОЧНО НУНА =)))))

Автор: Лилия 26.12.2007 8:07

Для обратных тригонометрических функций надо самим выводить, вот точно знаю как выводяться для арктангенса и арксинуса.... Если что, могу написать и постараться в скобках написать объяснение....

Автор: andriano 26.12.2007 13:08

"о малое" примерно можно перевести как "много меньше". Вообще "О большое" и "о малое" используются в асимптотике. g(x)=о(f(х)) означает, что g(x)/f(x) сремится к 0.Ряд Тейлора от любой функции вычисляется при помощи дифферецирования.

Автор: Nord 26.12.2007 20:55

Запись a(x)=o(b(x)) при x->X, где a(x) и b(x) - бесконечно малые при x->X(т.е. при x->X a(x)->0 и b(x)->0) означает, что бесконечно малая a(x) более высокого порядка малости, чем b(x) при x->X, т.е. lim a(x)/b(x)=0, разумеется при x->X В данном случае слагаемое o(x^5) представляет собой остаточный член в форме Пеано.

Погуглить либо вывести самому. При вычислении ряда вся сложность заключается в нахождении n-й производной функции.

Автор: Лилия 29.12.2007 1:39

Если ещё надо, вот решение....
t=-x^2/2
e^t=1+t+t^2/2!+o(t^3)
e^(-x^2/2)=1+(-x^2/2)+((-x^2/2)^2)/2!+o(x^3)=1-x^2/2+o(x^3)(это ответ)