Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате

Форум «Всё о Паскале» _ Математика _ Вычислительная математика

Автор: dron4ik 8.10.2008 2:03

Всем Привет! Не могу понять как можно вычислить или доказать что у уравнения 3cos2x-x+0.25 существует единственный корень на отрезке [-2.5;-1.8]?
Доказать нужно аналитическим методом.
Построить рабочие формулы методом простых итераций результирующий процесс поиска корня линейного уравнения на указанном отрезке.
знаю что на концах отрезка функция меняет знак а производная монотонно убывает на отрезке [-2.5-1.8]


Автор: мисс_граффити 8.10.2008 2:18

эммм... а теорема о существовании единственного корня на отрезке не катит?
или по сути ее и надо доказать?

Автор: dron4ik 8.10.2008 13:30

Вроде как ее и нужно доказать. Вы бы не могли бы мне подсказать приближенное значение корня?(С-?)

Добавлено через 8 мин.
А что самое интересное что еще нужно составить программу на языке программирования Pascal или Делфи и с её помощью решить уравнение с точностью до тысячных и сотых.

Автор: мисс_граффити 8.10.2008 20:01

программы - в поиск...
Доказательство....

http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/index.html
Глава "Непрерывность функции на интервале и на отрезке" - доказательство того, что хотя бы один корень существует.

Автор: dron4ik 8.10.2008 21:51

Я выяснил. В этом уравнении нет решения!тк подстановка двух значений из отрезков -2.5 и -1.8 в производную то производная получается двух значения положительная следавтельно нет решений и функция на концах отрезка не меняет знак!

Автор: мисс_граффити 9.10.2008 2:04

Бред полнейший
Прикрепленное изображение

Автор: dron4ik 9.10.2008 2:25

Почему бред???? если производная этой функции -6sin2xcos2x

Добавлено через 5 мин.
это не бред! тк производная в двух случаях одинакова по знаку а следовательно нет решения

Автор: мисс_граффити 9.10.2008 3:46

Картинку в прошлом сообщении посмотри.
Поймешь, почему бред.

Знак производной показывает только что происходит с функцией (возрастает она или убывает). К пересечению ею оси никакого отношения не имеет.
Знаки должны быть разные не у производной, а у самой функции

Автор: dron4ik 9.10.2008 12:54

А что мне тогда делать дальше? я даже незнаю.

Автор: Айра 9.10.2008 16:27

Ну смотри, ты показываешь, что функция имеет разные знаки на концах отрезка. Следовательно ось х она пересекает и корни есть. Потом нужно доказать, что корень только 1. А это, думаю, уже исходя из поведения производной.

Автор: Belchonok 9.10.2008 20:19

Имхо, всё, что вам нужно для решения данной задачи, это: 1) определить, является ли функция возрастающей или убывающей (без разницы, и то и то докажет ваш случай) на заданном промежутке, потому что единственный корень функ имеет только тогда, когда явл. на этом промежутке возрастающей или убывающей.
2) Ну, а тот факт, что функ имеет разные знаки на границах этого промежутка, как вам уже сказали, -- согласно ещё одному свойству -- показывает, что уравнение на данном отрезке имеет хотя бы один корень.
Другими словами, исследуйте эту функцию на фозрастание / убывание.

Про программу на Паскале уже интереснее, хотя я не очень поняла: вам надо просто составить программу для расчёта значений этого уравнения с заданной точностью, или составить программу, которая будет решать задачу применительно к этому заданию??? blink.gif

Автор: Айра 9.10.2008 23:16

Цитата
1) определить, является ли функция возрастающей или убывающей (без разницы, и то и то докажет ваш случай)

Скорее только второе, ибо в первом случае получается бред: функция из плюса возрастает в минус ))


Автор: dron4ik 9.10.2008 23:48

Мне надо просто составить программу для расчёта значений этого уравнения с заданной точностью.

Автор: Belchonok 10.10.2008 0:59

Цитата
Скорее только второе, ибо в первом случае получается бред: функция из плюса возрастает в минус ))
Странно, у меня возрастает. Если на промежутке знак производной положительный -- возрастает. Если взять любую точку, например -2,0. У меня получается знак производной +. Хотя, может в расчётах где ошиблась...
"Возрастает из плюса в минус" -- вы имели в виду "убывает"?
Цитата
Мне надо просто составить программу для расчёта значений этого уравнения с заданной точностью.
Если с исследованием функа на отрезке уже разобрались, то хм.. Попробуйте сделать программу...
Задаёте требуемую точность и вычисляете y. В цикле While или Repeat. Например, while y <= <указанная точность> do <вычисление выражения>; потом (т.е. не потом, а на каждом шаге) суммировать полученное y, и в следующем цикле проверять его..
Это очень-очень просто, не знаю, стоит ли объяснять. Да и раздел уже тому не соответствует smile.gif

Автор: dron4ik 10.10.2008 1:20

Проблема в том что я незнаю как написать программу

Автор: мисс_граффити 10.10.2008 2:08

Цитата
1) определить, является ли функция возрастающей или убывающей (без разницы, и то и то докажет ваш случай) на заданном промежутке, потому что единственный корень функ имеет только тогда, когда явл. на этом промежутке возрастающей или убывающей.

Глупости...
Функция может сколько угодно раз менять поведение на этом промежутке.

Цитата
Проблема в том что я незнаю как написать программу

В поиск. Все это было на форуме.
И вообще. Раздел как называется?

Автор: Айра 10.10.2008 4:12

Цитата
"Возрастает из плюса в минус" -- вы имели в виду "убывает"?

это была шутка исходя из
Цитата
...является ли функция возрастающей или убывающей (без разницы, и то и то докажет ваш случай)

smile.gif)
Ибо при подстановке получается, что в -2,5 функция положительная, а в -1,8 отрицательная (да и по рисунку видно), поэтому если производная будет положительной, то получится, что функция возрастает, а это противоречит тому, что мы имеем, следовательно, не "без разницы".. Но это не самое главное)

Цитата
Функция может сколько угодно раз менять поведение на этом промежутке.

А если производная на этом отрезке будет строго отрицательна, то куда функция денется? по идее должна только убывать.. (правда что-то у меня не получается ее посчитать нормально sad.gif )

Автор: мисс_граффити 10.10.2008 5:38

А кто сказал, что производная должна быть строго отрицательна?
Оль, не путай необходимые условия и достаточные.

Автор: Belchonok 10.10.2008 15:50

Цитата(мисс_граффити @ 9.10.2008 22:08) *
Глупости...
Функция может сколько угодно раз менять поведение на этом промежутке.
Свойство: Если функция f возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение имеет не более одного корня.
smile.gif
Цитата(Айра @ 10.10.2008 0:12) *
Ибо при подстановке получается, что в -2,5 функция положительная, а в -1,8 отрицательная (да и по рисунку видно), поэтому если производная будет положительной, то получится, что функция возрастает, а это противоречит тому, что мы имеем, следовательно, не "без разницы".. Но это не самое главное)
Просто берёте любую точку из этого интервала [-2.5; -1.8] и считаете в ней значение производной. Если знак производной + то сама функция возрастает.
Цитата(Айра @ 10.10.2008 0:12) *
поэтому если производная будет положительной, то получится, что функция возрастает, а это противоречит тому, что мы имеем, следовательно, не "без разницы".. Но это не самое главное)
lol.gif Поняла.. Это была теория smile.gif.
То есть -- выше написанное свойство говорит, что надо доказать, что функция или возрастает или убывает.
Я не рассматривала конкретно этот случай )
А если рассм. кокретно этот -- то конечно, функция будет или возрастать или убывать. Только. smile.gif

Автор: мисс_граффити 10.10.2008 17:18

Belchonok "если А, то уравнение имеет не более одного корня" и "функция имеет единственный корень, ТОЛЬКО когда А" (А - функция возрастает или убывает).
Разницу не чувствуешь? Нарисовать картиночки, чтобы понятнее было?

Автор: Belchonok 10.10.2008 18:20

Цитата(мисс_граффити @ 10.10.2008 13:18) *

Belchonok "если А, то уравнение имеет не более одного корня" и "функция имеет единственный корень, ТОЛЬКО когда А" (А - функция возрастает или убывает).
Разницу не чувствуешь? Нарисовать картиночки, чтобы понятнее было?
мисс_граффити smile.gif , а расскажи-ка мне, какая разница в словах: имеет не более одного корня и единственный корень? В данном случае они главные.
Человеку надо показать, что корень единственный на конкретном отрезке -- а не уточнять, в этом ли только случае корень единственный, или есть ещё другие. Агри?

Тот кто пишет, изначально не должен заботиться, чтобы его правильно поняли все, кто читает. Если читающий не понял, можно переспросить. Рисовать ничего не надо ;)

Автор: мисс_граффити 11.10.2008 5:27

Belchonok, во-первых, ты путаешь необходимое условие с достаточным.
во-вторых, "не более одного корня" - это один или ноль (ни одного), а "единственный" таких вариаций не допускает.

Автор: Belchonok 11.10.2008 14:11

Цитата(мисс_граффити @ 11.10.2008 1:27) *
Belchonok, во-первых, ты путаешь необходимое условие с достаточным.
во-вторых, "не более одного корня" - это один или ноль (ни одного), а "единственный" таких вариаций не допускает.
.....
мисс_граффити, в данном случае важно только то, что меня правильно понял человек, вопрос задавший. И хотя всё дальнейшее обсуждение темы мне кажется, по меньшей мере, странным, таки-попробую объяснить, что слово '''только''' в том контексте не имело отношения к условию необходимости, либо достаточности...

Дальнейшее обсуждение темы не имеет смысла.
Завязываем.

Автор: мисс_граффити 11.10.2008 17:15

Математика - наука точная. И таких вольностей не допускает.
Понял ли человек - я не уверена. Он не появляется.

Цитата
Дальнейшее обсуждение темы не имеет смысла.
Завязываем.

А это, простите, Ваша тема?
Или Вы - модератор?

Автор: dron4ik 3.11.2008 2:45

мне надо написать эту прогу а так я давно уже решил...

Автор: Lapp 3.11.2008 8:15

Цитата(dron4ik @ 2.11.2008 23:45) *
мне надо написать эту прогу
- золотые слова! smile.gif Скажи их сам себе, а не всем остальным - и начинай. Мы поможем.
И открой для этого другую тему в разделе Задачи. Тут программам не место..