Версия для печати темы

Автор: Footballplayer 14.04.2010 23:33

Имеем, что

{z_n} --> a

Требуется доказать, что

( (z₁+z₂+...+z_n ) / n ) --> a

может знает кто-нибудь ход доказательства?

лично я не знаю...

Автор: Lapp 15.04.2010 6:45

Дык. На то и задача, чтоб не знать, а подумать и догадаться .

Тут нужно исходить из определения, то есть через "эпсилон-N" (эпсилон я буду обозначать через Е). Без потери общности можно ограничиться случаем стремления к нулю - исходное условие получится из этого простым почленным сложением с a. Кроме того, доказательство достаточно провести по отдельности для действительной и мнимой части (совершенно одинаково).
Итак, дано:

{z_n} --> 0 .

Доказать, что последовательность средних значений тоже стремится к нулю:

{ (z₁+z₂+...+z_n)/n } --> 0 .

Считаем, что нам задано Е. Задача в том, чтоб найти N, такое, что из условия m>N следует:
|(z₁+z₂+...+z_m)/m| < E .

Сначала возьмем пловину Е, то есть Е/2, и найдем такое N₁, дальше которого все z_i<E/2. Это возможно, т.к. z_i стремится к 0. Далее рассмотрим некоторое N>N₁. Нашу сумму, фигурирующую в числителе, разобьем на две: до N₁ (включительно) и после него (s₁ и s₂):

(z₁+z₂+...+z_N1+z_N1+1+...+z_N ) / N = s₁/N + s₂/N .

Каким бы ни было N, последнее (зеленое) слагаемое всегда будет меньше Е/2, поскольку каждый член суммы s₂ по модулю не превосходит Е/2, а их количество меньше N. Число s₁ не зависит от N (то есть константа). Теперь осталось сделать и красное слагаемое меньше Е/2. Для этого нужно взять N>s₂/(E/2). И задача решена!

Автор: Footballplayer 15.04.2010 10:25

прекрасно
спасибо
и всё понятно и просто, вот что мне нравится)