Версия для печати темы

Автор: Clerick 5.03.2006 18:03

Помогите найти lim x^3/(x+1)^2 при x стремящемся к -1!!!

Заранее спасибо!!!

Автор: мисс_граффити 5.03.2006 20:04

если (x^3)/((x+1)^2), то -бесконечность.
вроде даже неопределенностей не возникает...

а вот если x^(3/((x+1)^2)), то непонятно...

Автор: lapp 6.03.2006 11:21

не совсем. К минус бесконечности, с обеих сторон

- а такого просто не может быть, т.к. основание обязано быть положительным

Автор: мисс_граффити 9.03.2006 20:48

lapp, я и написала, что минус бесконечность...
это не тире...

Автор: lapp 10.03.2006 4:16

Извини, мисс_граффити.
Но постарайся избегать употребления математических символов в тексте, особенно в таких случаях (где возможно двоякое толкование). Чрезмерное стремление сократить текст для экономии времени часто приводит к обратному эффекту, причем многократному по величине.

Автор: Гелла 12.03.2006 21:27

Здесь по-моему замену сделать надо: при х стремящемся к минус 1, y стремится к нулю, тогда х=y+1 и вычисляем предел при y стремящемся к нулю: lim(y+1)^3/(y+2)^2=lim(y^3+3y^2+3y+1)/(y^2+2y+4)=1.

Не уверена, что верно....

Автор: lapp 13.03.2006 3:17

Подставляем y=0 в формулу замены и получаем x=1. То есть при y, стремящемся к нулю, х стремится к 1, а не к -1. Чтобы получить, к чему нужно стремить у, подставь в эту формулу х=-1. Получишь у=-2. А при у->-2 в знаменателе все равно будет ноль (при нелулевом числителе. То есть тот же самый результат. Так и должно быть, ибо здесь не было никакой неопределенности. Была четкая минус бесконечность, она и осталась. Это такой же жесткий результат, как и любое число. Вот если бы была неопределенность типа 0/0 или бесконечность/бесконечность - тогда имело бы смысл подифференцировать, поискать замены.. Но тут все ясно как день

Автор: Clerick 21.03.2006 23:50

Появилась новая проблема.

Нужно найти lim ((x^2)-4)(x-2)/x при x ->бесконечности
lim [(((x+2)^2)^1/3)-(((x-2)^2)^1/3)]/x при х -> бесконечности

Заранее спасибо!!!

Автор: мисс_граффити 22.03.2006 2:33

в первом преобразуем выражение:
(x^3-2x^2-4x+8)/x=x^2-2x-4+8/x
очевидно, что бесконечность (а можно и не преобразовывать... просто посмотреть, что в числителе степень намного выше).

во втором слишком громоздко писать...
но основная идея - умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение (чтобы дополнить числитель до разности кубов), потом раскрыть скобки, привести подобные....сократить на х.

Автор: lapp 22.03.2006 11:48

Касательно второго: почему так странно записано условие? почему степени не перемножены?
Мне кажется, тут все ясно без особых вычислений. Сначала убедимся, что числитель положителен (из большего числа вычиаем меньшее). Далее предположим, что предел равен нулю и попробуем это доказать. Заменим разность скобок в числителе на сумму (это будет аппроксимация сверху). Несложно видеть, что эта функция стремится к нулю. А значит и исходная функция стремится к нулю. То есть смысл на самом деле тот же, что и в первом: степень знаменателя выше степени числителя.
Метод мисс_граффити позволяет доказать то же самое без аппроксимации, хотя и требует некоторых (несложных) вычислений.

Автор: мисс_граффити 22.03.2006 15:08

Мне кажется, в оригинале там был значок корня...

Автор: Clerick 22.03.2006 23:15

Да, там действительно был корень! А вот почему степени не перемножил не знаю...

Спасибо!!!

Автор: Clerick 20.04.2006 21:35

И снова никак не разберусь с пределами... Помогите!

Lim (x^2+8*x+3)/(2x+4)

И желательно бы с пояснением.

заранее благодарен!

Автор: hardcase 21.04.2006 19:49

а какое условие предела?

Автор: Clerick 21.04.2006 23:47

Извиняюсь, забыл x->бесконечности.

Автор: hardcase 22.04.2006 0:57

Значит ответ - бесконечность положительная потому как степенная функция всегда пересилит линейную: обе функции начиная с некоторого xn начинают возрастать, только степенная растёт быстрее линейной и поэтому у нас получится бесконечность.

Автор: lapp 22.04.2006 10:27

hardcase абсолютно прав, но я попробую привести еще одно объяснение.
Здесь нужно рассуждать примерно так.
При больших х и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности. Оба они имеют слагаемые, не зависящие от х - в числителе это 3, в знаменателе 4. Какими бы ни были эти слагаемые - хоть единицы, хоть миллиарады или даже 10^100, все равно они малы по сравнению с бесконечностью, к которой стремятся числитель и знаменатель. Значит, их можно отбросить:
(x^2+8*x+3)/(2x+4) ~ (x^2+8*x)/(2x)
(при х -> бесконечности).
Последнюю формулу можно сократить:
(x^2+8*x)/(2x) = x/2 +4
Последнее выражение представляет асимптотическое поведение исходной функции на бесконечности. Теперь легко видеть, что предел равен бесконечности.

Автор: Clerick 22.04.2006 20:07

Спасибо!!!