Версия для печати темы

Автор: Vinchkovsky 28.10.2007 2:40

И так, новый учебный год - новые олимпиады. В этом году нашу школу проверяют по полной, поэтому проводятся чисто формальные школьные олимпиады (и так известно, кто на них пойдет), где с физики были следущие задачи (пишу те, которых не знал, и, соотвественно, прошу помощи в знатоков):
1) Условие - цилиндрический стержень длиною L помещен в вертикальном положении на гране двух жидкостей, которая делит стержнень пополам. Определите период малых вертикальных колебаний, не учитывая сил сопротивления. p1>p2 (плотности жидкостей)
_________________________________________________________________________
Условие немного не понятно - дано ли плотности жидкостей или нет?
Не совсем могу обьяснить само явление - из-за чего возникают колебания?
Рабочая версия:
(см.рисунок)
Можно выделить два состояния системы - то, что в условии, и максимальное.Ускорения одинаковы, пишем уравнения для двух состояний (Fa1+Fa2-mg=ma и mg-F'a1-Fa2=ma), расписываем, находим время, НО оно зависит не только от длины стержня, а и от плотностей.
__________________________________________________________________________
Собственно, вопросы - верный ли принцип решания задачи? Если нет, то как верно? Реально ли решить задачу, зная только длину стержня?
(остальные две задачи напишу потом)
Спасибо, извиняюсь за грамматические и не только ошибки


Эскизы прикрепленных изображений

Автор: Lapp 28.10.2007 16:34

Стоп.

М

Vinchkovsky, насколько я понял - это задачи с еще не закончившейся олимпиады. Так? Но в этом случае, обсуждение их на Форуме неправомерно.

Андрий, я с удовольствием разберу решение, но после окончания олимпиады.

Одну твою ошибку я все же могу указать сразу, поскольку это просто следствие неправильно понятого условия. На рисунке у тебя стержень вылезает вверх. Верхнюю границу жидкости рассматривать не нужно! Считай, что стержень не вылезает на воздух, целиком находится "под водой", всегда.

Автор: Vinchkovsky 28.10.2007 17:05

Lapp, олимпиада школьная, нам её дали домой на каникулы, как я написал, она есть чистой формальностью (проводится только через то, что школу фронтально проверяют, и так надо, ранее такого не было). И так известно, что пойду я и еще одна девушка. А если и это не кажется убедильным - учительница просила написать нас дату за неделю назад, так как на бумаге олимпиада уже была (закончилась), а работ нету . А задачки зацепили, главное самую сложную и самую легкую решил, а вот с другими - проблемки.
______
Хм, а если переделать рисунок с границей на аналогичный, чтобы тело не "вылезало", то будет верно?
Реально ли решить задачу, не зная плотностей?
(Как обьяснить колебания? В начальном положении тело идет вверх из-за того, что Fa1>Fa2, а почему идет вниз? или мои слова неверны?)

Автор: Lapp 28.10.2007 18:18

Плохо это. Не думаю я, что учитель должен так делать..Это приятно слышать .
Рисунок будет верным. Советую вообще забыть про сосуд. Рисунок совсем простой: вертикальный стержень пересекает горизонтальную линию (поверхность раздела). Лишние детали только отвлекают внимание.. Но твой рисунок с верхней открытой поверхностью был вообще неверным, потому что он фактически относился к случаю не двух, а трех жидкостей, верхняя из которых нулевой (ну, почти нулевой, если учесть плотность воздуха) плотности.
Нет. Для проверки условия на здравость смысла нужно взять подходящий крайний случай. В данном случае можно взять, что плотности равны между собой. Никаких колебаний в этом случае не будет.
Что ты знаешь про колебания вообще? Например, про колебания груза на пружине (классический случай). Напиши тут кратко, пожалуйста, что в этом процессе (и для него) является главным, существенным.

Автор: Vinchkovsky 28.10.2007 18:50

У нас в школе отношение к олимпиаде нулевое. Ни подготовки, ни школьных олипиад.


Логично.

Ну тут вроде бы все понятно - есть положение равновесия, оттягиваем пружину, возникает сила упругости, которая приводит пружину до положении равновесия и по инерции дальше и т.д.
Что, в системе из задачи тело идет вверх под влиянием силы Архимеда, доходит до точки равновесия и даже дальше из-за инерции, а потом тонет?
Спасибо за советы
Если эту задачу я хоть немного знал, то со следующей все несколько хуже.
Условие - Mt- масса пороха, который сгорает за некоторое время, зависит от давления p за законом Mt=Ap^n, где А и n - некоторіе постоянные величины. Скорость вытекания газа из сопла пропорционально давлению p в камере двигателя. У сколько раз отличаются давления в двух камерах, если S1/S2=2 (площадь сопел) и n=2/3?

Автор: Lapp 28.10.2007 19:12

Так я вот и говорю - плохо это. Одно плохое тянет за собой другое, то - следующее.. Но самое плохое, что на некотором этапе к этому привыкаешь и считаешь, что так и должно быть. Постарайся понять, что все, что ты написал - не оправдания, ди оправдания тут не нужны. Та фраза, что задачи тебя "задели" - вот она меня полностью удовлетворяет. И хватит об этом .

Ты наговорил много слов, а главного (как я просил) так и не сказал. Хорошо, объясню. Главное то, что сила пропорциональна отклонению и направлена назад. Именно пропорциональность силы есть главный признак гармоничных колебаний - постарайся это понять и запомнить. Найди коэффициент пропорциональности, сравни полученное выражение для силы с законом Гука для пружины - и ты решишь задачу.

Да, так.

Что значит "за некоторое время"? Приведи условие дословно. Если нужно переводить с украинского, переведи как можно точнее.

Автор: Vinchkovsky 28.10.2007 19:46

Точное условие:
Mt пороха, который сжигается за еденицю времени в камере сжигания ракетного двирателя, зависит от давления p за законом Mt=A*p^n, где А и n - некоторые постоянные величины. Скорость витекания газа из сопла ракеты пропорционально давлению p внутри камеры сжигания. У сколько раз отличается давления в камерах двух ракетных двигателей, если площадь поперечных (разрезов, или как? Не могу перекласть, приношу извинения, у нас "перериз") их сопел S1/S2=2 и n=2/3.
Дословный перевод.
Стоп, то есть, "рабочей" формулой для первой задачи будет T=2*pi*sqrt(k/m)??? Или я неправильно понял???

Автор: Lapp 29.10.2007 14:23

Перевод будет "сечение", или "площадь сечения".
Ага, вот теперь ясно: не "за некоторое время", а "за единицу времени". Чувствуешь разницу?

Здесь один ключевой момент, который сразу выводит на решение. Я не хочу говорить явно, попробуй догадаться сам. Я дам тебе наводящий вопросик..
Помнишь задачи на трубы из математики (алгебры)? В бассейн по одной трубе вода втекает, по другой вытекает (сразу пытайся навести аналогию с твоей задачей: что является аналогом наполняющей трубы? а что - отводящей?). Допустим, скорость вытекания зависит от уровня жидкости (вполне реально). Если ты знаешь эту зависимость, а также знаешь скорость наполнения - можешь ты найти установившийся уровень жидкости?
Или так: под краном стоит ведро, в котором есть небольшая дырочка у самого дна. После достаточно долгого времени в ведре образуется стабильный уровень воды. Что нужно знать, чтоб его рассчитать?
Дальше думай сам..
Попробуй ответить - что я назвал "ключевым моментом" в начале сообщения?
Да, ты правильно понял. Уравнения, описывающие груз на пружине и плавающий стержень одинаково выглядят, хотя смысл величин разный. Но смысл величин не играет никакой роли для математического решения этих уравнений. Поэтому ответы в них тоже будут однотипными. Только точно определи, что у тебя здесь есть k.

Автор: Vinchkovsky 30.10.2007 1:26

Чтобы был стабильный уровень воды, скорость вытекания должна быть равна скорости наполнения?
То есть, Mt=(плотн.)*S*v => (p1/p2)^(2/3)=(S1/S2)*(p1/p2) => p2/p1=8???
Или я воспринял пример слишком буквально?

Автор: Lapp 30.10.2007 2:35

Да.
Можешь теперь сформулировать, что именно я назвал ключевым моментом?
Он и был слишком буквальным .

Автор: Vinchkovsky 30.10.2007 3:12

Ключевой момент? Не знаю, мне хватило понять то, что скорость подачи пороха (Мтау) равна скорости вытекания газа. Совем не понимаю, что подразумевается под "ключевым моментом" в даном случае (хех, что-то не вижу смайлик с покраснением ).
Отдельное спасибо за "тактику" ответов. Много чего взял на заметку (проводить паралели с другими явлениями, брать крайние значения, например). Хе-хе, мне б такого учителя
(А вот полное условие третьей задачи:
Тонкий обруч(?) катится вниз без проскальзывания с наклонной плоскости на горизонтальную поверхность. На которую макс. высоту он подпрыгнет, если он котится с высоты Н и угол наклона плоскости, с которой он котится, до горизонтальной, равный а(альфа)? Обруч и плоскости абсолутно упругие(?))
Вроде бы задача походит на несложную, есть вопрос - как отскочет обруч? Под каким-то углом или перпендикулярно к горизонтали???
Еще раз извиняюсь за ошибки (может где-то в инете есть украинско-русский словарь, а то иногда "заклинивает" на некоторых словах???).
Интересно, что такое ключевой момент

Автор: Lapp 30.10.2007 6:10

Это то, что дает ключ к решению. То, что приход равен расходу - это уже фактически само решение (словесное выражение основного уравнения). Ключевым моментом тут является то, что в условии не сказано явно, но при этом подразумевается, что речь идет о стабилизировавшемся процессе. Посуди сам, в самом начале процесса, когда топливо только что подожгли, все будет не так, давление будет меняться. Но само то, что нас спрашивают про давление, говорит за то, что оно постоянно - то есть процесс уже стабилизировался. Вот это и есть ключевой момент. Именно это позволяет тебе сделать умозаключение о приходе и расходе, именно отсюда выводится уравнение. А "хитрость" в условии состоит в том, что, повторяю, это явно не сказано.
Подобные вещи нельзя недооценивать. Для этого даже есть специальное название в физике: принцип динамического равновесия. Тут он в самой простейщей форме - один вход, один выход. Но есть задачи более сложные, в которых много каналов туда и обратно. Это так, на будущее . Усек?

Автор: Vinchkovsky 30.10.2007 14:04

Обидно, хотел написать, что система перебывает в равновесии, но мне это показалось как-то не по-физически, ведь равновесие - это совсем другое... И кто мне теперь поверит ? Зато я понял...
А как там в последней задачке? Что-то мне кажется, что тело подпрыгнет вверх перпендикулярно горизонтальной плоскости (во первых, мало балов за задачу, во-вторых, в остальных случаях она для меня нерешаемая ), но я не могу это обьяснить, может из-за того, что "абсолютная упругость" для меня понятие абстрактное.
Спасибо за всю помощь

Автор: Lapp 30.10.2007 16:21

Это абсолютно конкретное понятие. Оно означает, что энергия сохраняется (при неупругом ударе закон сохранения механической энергии не выполняется - она переходит в тепло).

Вертикально подскочить он в принципе не может - как ты себе это представляешь? Катился с горки, катился - а потом фигак резко вверх! Так?.. Нет, он будет лететь и вверх, и вперед - это, грубо говоря, его одно движение (или, если хочешь, два: горизонтальное и вертикальное). Но будет и еще одно..
Какое - сможешь сказать?

Автор: Vinchkovsky 30.10.2007 16:31

(Вокруг своей оси, или как? )
Стоп, угол падения равен углу отражения?
А пот.энергия наверху плоскости равна кинетической внизу? Или тут не учтено трения?

Автор: Lapp 30.10.2007 17:03

Да, вращательное. Сможешь найти энергию, пошедшую на его раскрутку?
Трения нету тут... совсем. Я же сказал: энергия сохраняется..

Автор: Vinchkovsky 30.10.2007 17:25

Сорри за тупость, я понял, что при ударе энергия сохраняется, но не был уверен в том, что при скачивании не тратится энергия на преод. сили трения, но теперь все встало на свои места.
А обязательно-ли надо учитывать раскрутку? (задача на 4 бала-то в сравнении с 5 и 6 предыдущих).
Если да, достаточно найти v0 для полета тела и все ОК.

Нет,наверное.

________________________
Советовался со знакомой-учительницей про раскачивания, ответ был следующим - это в школе не проходят, надо использовать момент инерции. Правда ли это?

Автор: Lapp 31.10.2007 2:37

Правда. Само упоминание "тонкого обруча" это явно предполагает. Только момент инерции тут очень простой. У тонкого обруча вся масса сосредоточена в ободе, то есть m*R^2

Ты прав, нужно найти скорость. Но для этого нужно учесть вращение

Автор: Vinchkovsky 4.11.2007 17:46

Большое спасибо за помощь , все понял
(извиняюсь, что нe отписывал, не мог)

Автор: -Metrax- 10.11.2007 16:34

У меня получилось T=2*pi*sqrt(p*L(p1+p2+2pg)/2(p1-p2)(pg-p1+p2)) где p-плотность тела, l-длина, g-ускорение свободного падения. Спасибо за задачу. Плотность все-таки входит, или я решил не правильно ???

Автор: Vinchkovsky 17.11.2007 2:25

Lapp, если не сложно, напиши (можно на "ты", или как? я не нарушаю норм интернет-общения? ), пожалуйста, ответы (и только) к первой и второй задачам, чтобы проверить верность моих (и не только) решений. Исключительная просьба от меня (и снова "и не только")

Автор: Lapp 17.11.2007 12:01

Да можно, конечно..

Ответы.. блин, с этим тяжело.. это - арифметика, а у меня с ней плохо.. ))
В первой задаче что-то типа (кстати, длина в условии - явно лишняя..)

T = 2*п*Sqrt(p/(p2-p1))

Во второй - кажется, я ее тогда прорешал до конца, и ответ получился, как у тебя. 8.

Добавлено через 4 мин.
Уже отправил ответ - и заметил..
Плотность-то, p, нам не дана! Но ее можно вывести из того условия, что стержень в состоянии покоя делится границей жидкостей пополам. Это значит, что p = (p1+p1)/2 .
Так что ответ такой:

T = 1.414*п*Sqrt((p1+з2)/(p2-p1))

Добавлено через 2 мин.

Metrax, извини, что сразу не ответил.
Любой ответ, который включает длину стержня - неверный. Кроме того, у тебя входят одновременно как слагаемые плотности и произведения плотностей на g. Нарушение размерностей - это явный знак, что что-то не так..

Автор: Vinchkovsky 17.11.2007 14:49

Ээээээ... Вопрос таков - колебания возникают из-за действия разницы сил или только нижней?

Автор: Lapp 17.11.2007 15:25

Если честно - не совсем понял вопроса. Разницы каких сил? что за нижняя сила?..
Vinchkovsky, постарайся понять: каждый мыслит по-своему. И если в твоем способе решения присутстуют верхние и нижние силы - пожалуйста, я не возражаю. Но тогда ты поясни, что ты под ними понимаешь..

Автор: Vinchkovsky 17.11.2007 19:59

Верхняя и нижняя - соотвественно силы Архимеда верхнего и нихнего слоев жидкостей.
Коеффициент пропорциональности равен k=F/x, ведь так???
Что в нашем случае будет F, разница сил Архимеда или большая из них, "нижняя"???
x=L/2, да?
Почти в общем виде:  formula.bmp ( 65.07 килобайт ) Кол-во скачиваний: 1039

Автор: Lapp 17.11.2007 21:26

> Верхняя и нижняя - соотвественно силы Архимеда верхнего
> и нихнего слоев жидкостей.
Ну, хорошо. Такая точка зрения в целом корректна. Хотя все не так просто, как ты, возможно, думаешь..

> Коеффициент пропорциональности равен k=F/x, ведь так???
Да, так.

> Что в нашем случае будет F, разница сил Архимеда или большая
> из них, "нижняя"???
F в нашем случае будет действительно разность, но только не двух сил Архимеда. Не гадай, подходи с более общей точки зрения.
Какие силы в этой задаче есть вообще? Их две: выталкивающая (Архимедова) сила и сила тяжести. Силу Архимеда ты захотел поделить на две - не возражаю. Но только эти две Архимедовы силы нужно не вычитать, а складывать. Ведь они действуют в одну сторону (вверх)! И, как я уже говорил, по сути являются искусственным разбиением одной силы на две.
А вот сила тяжести действительно противодействует Архимеду, то есть направлена в другую сторону (вниз).
Что такое "в нашем случае" сила F? Как и в любом случае, если мы исследуем колебательную систему, это есть просто суммарная сила, действующая на тело. Неважно, какой она природы. Главное - чтоб зависимость ее от расстояния была линейной.
Что из этого следует? Надо сложить все силы, выразив их как функции расстояния (от чего мерить, скажу ниже). И когда эта полная сила будет выражена формулой, надо на эту формулу посмотреть. Если она (формула) представляет собой линейную зависимость от расстояния - значит, система будет совершать гармонические голебания после выведения из равновесия.

> x=L/2, да?
Нет, конечно.
x - это отклонение от положения равновесия. Тебе сказано, что тело плавает на границе раздела. Так? Начинаем анализировать это. Если бы тело было тяжелым, то есть более плотным, чем нижняя жидкость - что бы было? Оно бы утонуло, а не плавало бы там. Значит, p<p2.
Дальше идем. Если бы оно было менее плотным, чем верхняя жидкость - что тогда? Оно всплыло бы выше поверхности раздела и продолжало бы всплывать. Значит, p1<p.

Теперь я позволю себе немного проиллюстрировать процесс. Я беру кусок дерева и кладу его в воду. Что происходит? Да, оно плавает. Похоже на нашу задачу? Да, но верхней жидкости не хватает. Постой - а как это не хватает? А воздух? Чем не жидкость?
Короче, задача абсолютно идентична простому куску дерева, плавающему в воде на воздухе. Да, выталкивающая сила воздуха невелика, но она есть (вспомни воздушные шарики). Плотность дерева действительно меньше плотности воды (в воде дерево плавает) и больше плотности воздуха (в воздухе дерево тонет).

Теперь, когда все так обычно, будем действовать обычными методами. Позволим бруску плавать достаточно долгое время, чтобы он успокоился, и даже чтоб обсох в тех местах, которые не погружены в воду. Теперь вынем его и маркером проведем по границе сухого и мокрого линию (ватерлинию). Это и есть наш ноль.

Кладем брусок обратно в воду. Он плавает так, что поверхность воды точно совпадает с нашей меткой. Теперь рукой (то есть, приложив силу) притопим брусок и будем удерживать его в этом состоянии. Какую силу мы прикладываем для этого? Ровно такую, с которой его выталкивает вода. На какое расстояние мы отклонили систему? На сколько наша метка ниже поверхности. Вот это и есть наш "x". Теперь увеличим силу действия руки. Брусок погрузится глубже (то есть увеличится x). Даже вот в таком примитивном рассмотрении заметно, что чем больше сила, тем больше отклонение. А при нулевом отклонении - нулевая сила (то есть не нужно прикладывать постороннюю силу, чтоб удерживать брусок в положении, когда метка совпадает с поверхностью). То есть ситуация похожа на пропорциональность между x и F.

Теперь твоя задача точно выяснить зависимость F от x. Можешь учитывать выталкивающие силы воды и воздуха по отдельности - как тебе удобнее. Давай, займись этим. И напиши, все ли ты понял из вышеизложенного.

Автор: Vinchkovsky 21.11.2007 0:13

Приношу извинения, что не отписывал.
Да, про F и x писал полный бред.
Такое решение неверно?=>
Массу стержня находим с условия плавания:
mg=Fa1+Fa2
m=(p1*L*S+p2*L*S)/2
F=-kx
kx=p1*S*x*g
k=p1*S*g
T=2*pi*sqrt( ((p1+p2)*L)/(2*p1*g) ) )
Если нет, то оооочень прошу дать полное решение, уж очень эта задача все "задолбала"...
А еще, это разве реально, что бы длина не использовалась???

Автор: Lapp 21.11.2007 18:21

Нет, нереально.
Я приношу извинения всем за свой бред и посыпаю голову пеплом.. Конечно, длина входит через массу. У меня в голове происходили странные метаморфозы - я сначала думал, что масса задана (и тогда длина действительно не нужна), а потом типа "подкорректировал" свое решение на ходу..

Итак, привожу свое решение.
Полная выталкивающая сила U=U1+U2, где
U1 = (L/2+x)*S*p1
U2 = (L/2-x)*S*p2
Здесь x - это смещение от ватерлинии, положительное направление вверх.
Сила тяжести:
G = m*g = S*g*(p1+p2)*L/2
(массу я взял из предыдущего поста Vinchkovsky)
Полная сила:
F = U - G = U1 + U2 - G
После приведения всех подобных получаем:
F = S*g*(p1-p2)*x
Это означает, что k=S*g*(p1-p2)
Коэффициент не зависит от L, но, как я уже сказал, L войдет через массу.
Итак, осталось подставить величины в формулу для периода, и после сокращений и упрощений получаем:


Вот такой ответ получается .
Еще раз извиняюсь перед всеми, кому наврал. Metrax, ты тоже извиняй.. Хотя последнее возражение остается в силе (несовпадение размерностей). Жалко только, что я не применил это золотое правило к своему выражению..

Надеюсь, никто особо не почитает мои слова за истину в последней инстанции - Форум есть форум! Спорим, аргументируем..
Где еще я ошибся?..

Автор: Vinchkovsky 21.11.2007 21:41

В ответе g упущено, тогда с этим:

все ок (или я не так понял?)
Большущее спасибо за решение, именно такой метод мне кажется наиболее логичным и не заставляет задавать никаких вопросов
Наконец-то все встало на свои места...
(несколько постов назад писал ужасный бред (сейчас аж стыдно), так как не верно разобрался в ситуации и из-за простой случайности с совпаданием ответов)