         8.    ४ᨨ.

      㭨ᠫ 몮 ணࠬ஢ ( 
᪠)  ४   祣 :  类 ४ᨢ
ணࠬ    ணࠬ    ४ᨨ.
   㤥 뢠 ⮣,  த㥬  -
, 騥   ४ᨨ   .
     祬    㦭?  ⢥  ࠣ⨪    ⠪: 
  ( ⮬ ᫥,  ᮦ,     ᮢ६,
ᯮ  ⠪ 뢠 RISC-), ४ᨢ ண-
ࠬ  ᪮쪮 ࠧ    ᮮ⢥  ४ᨢ
ணࠬ.     ⢥:   몠 ணࠬ-
஢ ४ᨢ ணࠬ 饭.  ,  㤠-
 ४ᨨ    ⥫ 樨.

     8.1.  祭 (᪮ ணࠬ஢)

     8.1.1.  ४ᨢ 楤  ᫠  -
⠭  ( 樥).   -
४ᨢ ணࠬ.

        function C(n,k: integer):integer;
        | {n,k >=0; k <=n}
        begin
        | if (k = 0) or (k = n) then begin
        | | C:=1;
        | end else begin {0<k<n}
        | | C:= C(n-1,k-1)+C(n-1,k)
        | end;
        end;

砭. C(n,k) - ᫮ k-  n-⭮
⢠. ⭮襭 C(n,k) =  C(n-1,k-1)+C(n-1,k)  ,
᫨    䨪㥬    n-⭮ ⢠ 
⤥쭮 ⠥  k-  ⢠,  騥    
騥  .  祭 C(n,k)

                        1
                      1   1
                    1   2   1
                  1   3   3   1
                .................

뢠  㣮쭨  ᪠  (⮣  ᠬ).   
, ஬ ࠩ , ࠢ 㬬    .

     襭.  ᯮ짮 㫮
        C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)
, ,  㤥 ⮣ , ⠪  ⨬ த-
  騥 ਥ ࠭  ४ᨨ.  ⠢  ⠡
祭  㭪樨  C(n,k),    n = 0, 1, 2,..., 
   饣  .

     8.1.2.   ᪠  ६ ࠡ ४ᨢ  -
४ᨢ ᨩ  ।饩 ?     .

     襭.    浪 n*n,   ᮪-
  n, ᫨ ,   ᫥ ᫥饩  ப
㣮쭨  ᪠  㦭  ⮫쪮  ।. ६ ࠡ 
  浪 n*n.  ᨢ  ணࠬ  ॡ  -
⢥ 襣 ६: 맮 C(n,k) ᢮   맮
 C(n-1,..),  -  ६ 맮  C(n-2,..)  .. 
ࠧ, ६ 뢠 ᯮ樠 (浪 2  ⥯
n). ᯮ㥬 ४ᨢ ᨥ  ய樮쭠 n  -
㬭 㡨 ४ᨨ (n)  ⢮ , ᯮ㥬
 ஬ 楤 (⠭).

न 먣  ६  室  ४ᨢ -
ᨨ  ४ᨢ 易  ⥬,   ४ᨢ ਠ -
        ᫥  ந室  ࠧ. ਬ, 맮
C(5,3)  筮  ஦  맮 C(3,2):

                        C(5,3)
                       /     \
                     C(4,2)  C(4,3)
                    /  \     /   \
                 C(3,1) C(3,2)   C(3,3)
                ......................

 ⠡,    塞  ⮫쪮    -
  .  ਥ 뢠 ᪨ ணࠬ-
஢,   ਬ   ,  ꥬ ࠭  ⠡-
 ଠ樨 뢠  ᫨誮 訬.

     8.1.2. 㦤    ⥬  ਬ ४ᨢ  
(⥩襩)  ४ᨢ  ணࠬ  ᫥ ᥫ -
,  ᮮ⭮襭
        f(1) = f (2) = 1;  f(n) = f(n-1) + f(n-2)  n > 2.

     8.1.3.  㪫 n-㣮쭨 ( न⠬ ᢮
設  浪 室).  ࠧ१  㣮쭨 -
ﬨ,  祣 室 n-2  (  樥  
n). ⮨ ࠧ१  㬬   ᯮ짮
.        ⮨  ࠧ१.  ᫮
⢨   ࠭祭  童  n. (-
ॡ  室, ⠪  ᫮ ਠ⮢  ࠭祭 -
.)

     襭. 㤥 ,  設 ஭㬥஢  1  n
      ᮢ ५.  k, l -  設, 祬
l>k. १ A(k,l) 稬 㣮쭨, १   襣
म  k--l.  (  ठ ࠧ१ 㣮쭨  2,  
 砥 ஭ 1--n; १ A(k,l)   砥  -
.)  室 㣮쭨 ⢥  A(1,n). 
l=k+1 砥 "㣮쭨"  ᮢ騬 ஭.









१  a(k,l)  稬  ⮨  ࠧ१   㣮쭨
A(k,l) ﬨ  㣮쭨. 襬 ४७ 
  a(k,l).    l=k+1  砥  㣮쭨,   
a(k,l)=0.  l=k+2 砥 㣮쭨,   ⮬ 砥 ⠪-
 a(k,l)=0.  l > k+2. ठ k--l  ஭  -
㣮쭨  A(k,l)  ,  ᫥⥫쭮,  ஭     -
㣮쭨,      ࠧ१. ⨢ 設 i
⮣ 㣮쭨     設 k+1,...,l-1,  -
쭠 ⮨ ࠧ१   ᫥ 

    min {(  k--i)+(  i--l)+a(k,i)+a(i,l)}

 ᥬ i=k+1,..., i=l-1.  ⮬  ,      i=k+1
ठ k--i -  ठ,  ஭,      ࠢ
0 ( ஭ ࠧ१  ஢).

     ⠢ ⠡  a(k,l)     浪 -
⠭ ᫠ 設 (ࠢ l-k+2),  砥  ணࠬ,  -
  浪 n*n  ६ 浪 n*n*n (⭮
ਬ  ४७⭮    ॡ 롮 㬠  
 祬 n ᥫ).

     8.1.4. 楩 ࠧ m*n 뢠 אַ㣮쭠 ⠡-
  m ப  n ⮫殢,  ᫠.  ࠧ
m*n   㬭   ࠧ n*k (ਭ  ᮬ-
⥫    ࠢ   ࠢ),  砥 
ࠧ஬ m*k.  ⠪ 㬭 㤥   ந
m*n*k (⠪ ᫮ 㬭,  㦭 믮  ⠭-
⭮ ᯮᮡ 㬭 -  ᥩ    ). -
  樠⨢, ⮬ ந n   -
  ࠧ 浪.   浪 ⠥ 㬬-
 業   㬭.   業 -
 ந, ᫨   ࠧ    .  ᫮
⢨   ࠭祭 童  ᫠ .

     ਬ.    ࠧ஬  2*3, 3*4, 4*5  ६
 ᯮᮡ.  ࢮ 業 ࠢ 2*3*4 + 2*4*5 = 24 +  40  =
64,  ஬ 業 ࠢ 3*4*5 + 2*3*5 = 90.

     襭.  ।⠢  ᥡ,   ࢠ  ᠭ 
१ [0,1],  -  १ [1,2],..., s- -   १
[s-1,s].   १ [i-1,i]  [i,i+1]  騩  ࠧ-
,   ६. 稬  १ d[i]. 
ࠧ, 室     ᨢ d[0]..d[s].
     १ a(i,j) 稬  業 ᫥ ந-
    ⪥ [i,j] ( 0<=i<j<=s). ᪮ 稭
ࠢ a(0,s). 稭 a(i,i+1) ࠢ  (     -
६ 祣  ). ७⭠ 㫠 㤥 ⠪:

    a(i,j) = min {a(i,k)+ a(k,j) + d[i]*d[k]*d[j]}

     ᥬ  ⠬ ᫥ 㬭-
,    ᥬ k=i+1..j-1.  ᠬ , ந -
  १ [i,k]   ࠧ d[i]*d[k],  ந-
     १ [k,j]  ࠧ d[k]*d[j],  業 -
᫥  ந ࠢ d[i]*d[k]*d[j].

     砭.  ᫥  宦.  室⢮ ⠭
᭥, ᫨     -  ⥫    ஭  1--2,
2--3,..., s-1--s 㣮쭨,    थ i--j 
ந  ,  ⮩ म.

     8.1.5.  ண  ஭      n
⠭権.   業 ⮢  i- ⠭樨  j- ( i <
j -   ஭ ஥ ).      -
  ஥   砫   ( ⮬  
  ᠤ).

      ,   ४ᨢ ணࠬ    
⠡ 祭   㬥 ᫮ ⢨. -
୮ ⮣  䥪   :  ⠢  ணࠬ
४ᨢ,      室  ᫥  㦥 ᫥
祭,  । । ᫥ ஢,      㦥
⮢ 祭.

     8.1.6.   筮 ⢮  ୮ 樥 (-
 ,  ⨢    樠⨢).  
n  ⮢  a[1]..a[n]  ⮣  ⢠     x.
஢,      ⠪  ⠢  ᪮     ந
a[1]..a[n],  ⮡    १  稫  x.  ᫮ 権
  ॢ室 C*n*n*n  ன ⠭ C  (-
饩  ᫠ ⮢  ࠭ 筮 ⢥).

     襭. 塞 ⠡,  ன     ⪠
a[i]..a[j]  襣  ந  ࠭ ᯨ᮪  
 祭 ( ࠧ ⠭ ᪮).

         ਥ ਬ  쭮  -
⬥   ஢ન   ਭ   ᫮  ந쭮  -
⥪⭮-᢮  (.  13).

       (  ) 㦥 㯮  
3 (室 ॢ).

     8.1.7.    n  ⥫  楫 ᥫ x[1]..x[n] 
᫮ N. ᭨,    N, ᪫뢠    
ᥫ x[1]..x[n]. ᫮ ⢨   浪 N*n.
     . ᫥ i 蠣 ࠭ ⢮  ᥫ  -
४   0..N,    ।⢨      㬬    
x[1]..x[i].


     8.2. ⥪ ⫮ .

     㣮 ਥ ࠭ ४ᨨ த㥬  ਬ-
   堭᪨ .

     8.2.1.  ४ᨢ ணࠬ  宦 -
⥫쭮 ६饭 ᪮    堭᪨ .

     襭. ᯮ ४ᨢ ணࠬ:

    procedure move(i,m,n: integer);
    | var s: integer;
    begin
    | if i = 1 then begin
    | | writeln ('ᤥ 室', m, '->', n);
    | end else begin
    | | s:=6-m-n; {s - ⨩ থ: 㬬 ஢ ࠢ 6}
    | | move (i-1, m, s);
    | | writeln ('ᤥ 室', m, '->', n);
    | | move (i-1, s, n);
    | end;
    end;

,   "५ i 孨 ᪮  m- ভ 
n-"  ᢮   ६ 砬 ⮣  ⨯:  砬  i-1
᪠      ⢥ ᪮. 믮  -
,   ,   ⠫ ᤥ.

      ⮩ 楫  ⥪ ⫮  ,  ⠬
ண  ன <i,m,n>.  ⠪ ன -
      "५ i 孨 ᪮  m- ভ 
n-".  㯮冷祭  ᮮ⢥⢨  ॡ㥬 浪 
믮: ᠬ  - 設 ⥪. 砬  ⠪  ண-
ࠬ:

    procedure move(i,m,n: integer);
    begin
    | ᤥ ⥪  
    |   ⥪ ன <i,m,n>
    | {ਠ: ⠫ 믮   ⥪}
    | while ⥪  do begin
    | | 㤠 孨 , ५   <j,p,q>
    | | if j = 1 then begin
    | | | writeln ('ᤥ 室', p, '->', q);
    | | end else begin
    | | | s:=6-p-q;
    | | |      {s - ⨩ থ: 㬬 ஢ ࠢ 6}
    | | |   ⥪ ன <j-1,s,q>, <1,p,q>, <j-1,p,s>
    | | end;
    | end;
    end;

(⨬,    ᭠砫  ⥪  ன,   -
 ᫥.) ⥪ ஥    ॠ    
⤥  ⥪.  (஬  ⮣,  ᪠  ᯥ樠 ⨯,
뢠 "",    ਬ.)

     8.2.2. (騫 ..  뫪    ᮢ᪮-
.)       堭᪨    㣨 ४ᨢ
.    : ⠨騬 ভ  (  ⥬,  
ண  ७,   ⥬,   ७)  
 ভ  ।. 㣮  ࠢ:  ।  ६
襥    襥 , 祬 襥 - 
.

     8.2.3. ᯮ짮  ४ᨨ ⥪ ⫮ -
  ४ᨢ ணࠬ  筮  楫 -
.

     襭.  뢠    뢠  ⥪, 
⥬   ⭮ 浪.

     8.2.4.   ४ᨢ  ணࠬ,    
設 筮 ॢ.

     襭.  ⮬ 砥 ⥪ ⫮  㤥 ᮤ-
    ⮢:   ( ᢮ ६) 
設     設 ॢ   ୥
( ⮬ nil ⠥ ୥ ⮣ ॢ).    ࠧ,
 ⥪  : <⨯ ,  設>.
     뭨   ⥪,   ࠧ ᯮ塞  (᫨
   ࢮ ⨯)  頥  ⥪  ஦ 
 -      浪.

     8.2.5.  , ᫨ ॡ      設
筮 ॢ,    ⢮?

     襭.  ⠭  設  ᫥  ਡ
  稪. 㣨  ᫮,  ਠ  ⠪:  (饥
᫮  設)  = (稪) + (㬬 ᥫ 設  ॢ,
୨    ⥪).

     8.2.6.       浪  
饭, 騥 㦭 ࠭  ⥪ ⮢  -
.    .

     襭. ᫨ ॡ㥬 冷 ⠪:
        ७,  ॢ, ࠢ ॢ,
     ⠭    뢠  ⥪,  -
 ࠧ.
     ᪮쪮  ᫮  ਬ  浪
         ॢ, ७, ࠢ ॢ.
 ⮬ 砥    ⥪, ஬ ᠬ ࢮ  (-
 ॢ)   :
     設 x,  ࠢ ॢ x
(..  ॢ  ୥  ࠢ 뭥 x). ꥤ   
 ᯥ樠쭮    ६  ⤥쭮  -
 ࢮ ,   ⥪ ⨯ .
       ᠬ, ࠧ㬥, ୮, ᫨  ⠬ 
 ࠢ - 砥   浪.

     砭.  ணࠬ   設 ॢ 
ந  ᭮ ணࠬ 室 ॢ, ࠧ࠭  ᮮ-
饩  .    ᯮ  "". ᪮
⥯譥 ।⠢ ॢ   ᨢ l  r  -
    ।   設, ਤ ࠭ ᯨ᮪
 設       ⥪饩  設.  C  ⠪
  ⬠  .

     8.2.7.    ४ᨢ  ਠ  ணࠬ ன
஢.    ⥪,  㡨  ண  ࠭祭
C*log n,  n - ᫮ 㥬 ⮢?

     襭.    ⥪   <i,j>, 㥬 
⫮   ஢ ᮮ⢥ ⪮ -
.     ᥪ, ⮬ ࠧ ⥪   -
  ॢ n. ⮡ ࠭ ⥪ 䬨᪮ -
, 㤥 ਤন ⠪ ࠢ: 㡦   ⥪  -
 訩    .   f(n)  -  -
쭠  㡨 ⥪,     ஢
ᨢ    祬 n ⮢ ⠪ ᯮᮡ. 業  f(n)
ᢥ ⠪ ᯮᮡ: ᫥ ࠧ ᨢ   ⪠ 
᭠砫 㥬  ⪨ (࠭  ⥪  ) 
,  ⮬ 㡨 ⥪   f(n/2)+1, ⥬ -
㥬  , ⠪ 

      f(n) <= max (f(n/2)+1, f(n-1)),

㤠 祢 樥 砥 f(n) = O(log n).

     8.3.  ᫮ 砨 ४ᨨ.

      㭪 f  ࠫ묨 㬥⠬  祭ﬨ -
। ४ᨢ ᫮ﬨ
        f(0) = a,
        f(x) = h(x, f(l(x))),
 a - ஥ ᫮,  h  l -    㭪樨.  㣨
᫮,  祭 㭪樨 f  窥 x ࠦ १ 祭
f  窥 l(x).  ⮬ ।,    x  -
⥫쭮
        x, l(x), l(l(x)),...
࠭    0.
     ᫨  ⥫쭮  ⭮,   l(x) < x   x, 
᫥ f  ।⠢  㤠:  塞  ᫥⥫쭮
f(0), f(1), f(2),...

     8.3.1.    ४ᨢ  ணࠬ ᫥ f 
饣 .

     襭.  ᫥ f(x) 塞 ᫥⥫쭮
        l(x), l(l(x)), l(l(l(x))),...
     ,  ⥬ 塞 祭  f
 窠 ⮩ ᫥⥫쭮,  ࠢ .

       ᫮ 砩  ᫥饩    -
    ࠪ⨪  (  ᫨   ,   ४ 
࠭,  ⠢).  ⥬  :  㭪 f  -
ࠫ묨 㬥⠬  祭ﬨ । ᮮ⭮襭ﬨ
        f(0) = a,
        f(x) = h(x, f(l(x)), f(r(x))),
 a - ஥ ᫮,  l, r  h -  㭪樨. ।-
,  ᫨  ந쭮 ᫮   ਬ 
 㭪樨 l  r  ந쭮 浪,   ࠭    
 0.

     8.3.2.  ४ᨢ ணࠬ ᫥ f.

     襭.  뫮  ᭠砫 ந ॢ,  ண
 ୥ 室 x,   뭮 設 i  l(i)  r(i)  -
᫨ ⮫쪮 i  ࠢ ,  ⥬  祭 㭪樨,
  쥢  .    㣮 ᯮᮡ.

     "⭮ ᪮ " ( "䨪᭮ ") -
ࠦ  뢠  ,    㭪樨 ⮨ ᫥  
㬥⮢,  ᪮  ᯮ.  ᪮쪮 ਬ஢:

          f(2)                  2 f
          f(g(2))               2 g f
          s(2,t(7))             2 7 t s
          s(2, u(2, s(5,3))     2 2 5 3 s u s

䨪᭠    ࠦ   㤮   
 "⥪ ".      ⥪,
    㤥 ।⠢ ᥡ ᯮ ਧ⠫쭮
(᫠ 뭨   ࠢ).  ⨨     
᫮   ᫮   ⥪.  ⨨  㭪樮
 ᮮ⢥ 㭪 ਬ   ᪮쪨  -
⠬  設 ⥪. ਬ, ᫨  ⥪ 뫨 ᫠
        2 3 4 5 6
    㭪樮쭠  s, ᮮ 㭪樨 
 㬥⮢,   ⥪  ᫠
        2 3 4 s(5,6)

३ ⥯  襩 .    ᫥  祭
㭪樨  f  㤥 ࠡ  ⥪ ᥫ,  ⠪  ᫥-
⥫쭮 ᥫ  ᨬ "f", "l", "r", "h",   -
 ஢  ᫥⥫쭮  ⨩    
⥪ .  ਠ ⠪:

      ᫨ ⥪ ᥫ ।⠢ ᮡ ⥪饥 ﭨ
      ⥪ ,  ᫥   
      ᫥⥫쭮  ⥪ ⠭ ⢥
      ᫮,   㤥 ᪮ ⢥⮬.

  ॡ ᫨ 祭,  ਬ, f(100). 
砫  頥  ⥪ ᫮ 100,   ᫥⥫쭮  -
ন  ⢥  ᨬ "f". ( ⮬ ਠ ᮡ-
.)   ᫥⥫쭮  ⥪ 믮 ⠪ -
ࠧ:


                          
 ⥪      ᫥⥫쭮  ⥪    ᫥⥫쭮

  X          x P               X x           P
  X x        l P               X l(x)        P
  X x        r P               X r(x)        P
  X x y z    h P               X h(x,y,z)    P
  X 0        f P               X a           P
  X x        f P               X             x x l f x r f h P

祭: x, y, z,.. - ᫠, X - ᫥⥫쭮 ᥫ, P
- ᫥⥫쭮 ᥫ  ᨬ "f", "l", "r", "h".  -
 ப ।,  m  ࠢ 0.  ப ᮮ-
 ࠢ

        f(x) = h(x, f(l(x)), f(r(x))),

  ८ࠧ 믮,  ᫥⥫쭮  -
 .     ⥪    ⢥  ᫮,
஥  㤥 ⢥⮬.

     砭.  ᫥⥫쭮   ।⠢ -
 ⥪ ⫮  (設 ண 室 ᫥).
