Счетность, континуум, биекция, задачи на множества Опции

[Кошка]

Помогите, плиз, решить задачи по доп. главам анализа
1. Док-ть, что кол-во всех пятёрок, которые можно нарисовать на плоскости (непересекающихся, разных размеров), - множество мощности континуума, а множество всех восьмёрок(непересекающихся) не более чем счётно
2. Док-ть, что множество всех непересекающихся следов(множеств трёх отрезков из одной точки) не более чем счётно
3. Пусть r1=1, r2n=rn +1, r(2n+1)=1/r2n, функция f из n в rn – биекция. Доказать, что функция f является биекцией из множества натуральных в множество рациональных чисел.

[Lapp]

У спирали должно быть ограничение на шаг (т.е. расстояние между двумя соседними витками) такое, чтобы никакой шестиугольник не мог поместиться между витками. Как вариант - спираль с постоянным шагом, но не единственная, а мношество спиралей, начинающееся с единственной, к которой по мере ее раскрутки (и уменьшения кривизны) добавляются другие спирали "параллельные" данной.
Возможен вариант и с разбиением плоскости на счетное количество конечных регионов, внутри каждого из которых своя спираль.
В ЛЮБОМ случае ход спирали никак не зависит от имеющихся либо не имеющихся в данном месте шестиугольников, поэтому наличие бесконечного их количества в конечной области пространства никак не может "остановить" спираль. Многоугольники подсчитываются в том порядке, в котором их пересекла спираль. Если многоугольник будет пересечен спиралью более одного раза (а это непременно случится), то либо считать его несколько раз (что ничего не меняет), либо учитывать только первое пересечение.

Сергей, у меня такое ощущение, что ты читаешь мои посты недостаточно внимательно. Во всяком случае, ты стойко не обращаешь внимания на присутствующие в них ключевые слова "предельная точка". Пожалуйста, объясни как можно точнее поведение спирали на подходе к ней (пример выше).
Далее, я говорю о неплотном множестве предельных точек. Можешь ты доказать, что оно действительно таково? Для твоего метода решения это жизненно необходимо. Извини, но твои слова о "параллельных спиралях" очень общие. Ты либо укажи точный способ обхода, либо хватит пространных слов.

а можно попробовать установить соответствие с квадратом,а потом доказакть,что множество восьмерок рац.чисел счетно?шестиугольники ведь равносторонние,значит вариантов построения не так много???

Гость (он же автор вопроса, он же leon00831, насколько я понимаю) о чем ты говоришь? Решение задачи дано выше (пост №18) - чем оно тебя не устраивает?.. Ты хочешь решить другим способом? Тогда по крайней мере скажи, об этом. И при чем тут восьмерки?? Это совсем другая задача. Еще раз: полное и точное решение смотри в сообщении номер 18. Что-то не так с ним? Его у тебя не приняли? Тогда скажи, как ты его подавал и что ответили.. А отвечать на все фантазии мне уже начинает надоедать..

[andriano]

Во всяком случае, ты стойко не обращаешь внимания на присутствующие в них ключевые слова "предельная точка".

Я просто не знаю, что такое предельная точка. Не мог бы ты объяснить?
Насколько я понимаю, предельная точка рассматривается только либо для конкретного множества, либо для конкретной последовательности, абстрактных предельных точек не существует.

Пожалуйста, объясни как можно точнее поведение спирали на подходе к ней (пример выше).

Поведение спирали НИКАК не зависит от наличия каких либо точек.

[Lapp]

Я просто не знаю, что такое предельная точка. Не мог бы ты объяснить?
Насколько я понимаю, предельная точка рассматривается только либо для конкретного множества, либо для конкретной последовательности, абстрактных предельных точек не существует.

Не знаю, что ты имеешь в виду под абстрактной п.т., но согласен, что тут может потребоваться уточнение. Предельной я тут называю точку плоскости, любая окрестность которой пересекает бесконечно много 6-угольников.

Поведение спирали НИКАК не зависит от наличия каких либо точек.

Отделение "параллельных" спиралей я тоже склонен называть поведением (этот механизм, как впрочем и основной, ты не объяснил).

Одна спираль не в состоянии помочь пересчитать 6-угольники, так как.. вот, смотри.

Пусть множество интервалов на прямой устроено так:

1: (0 , 0.5)
2: (0.5 , 0.75)
3: (0.75 , 0.875)
4: (0.875 , 0.9375)
...
n: (1-1/n , 1-1/(n+1))
...
и еще интервал (1 , 2)

Допустим, мы пытаемся пересчитать их все по порядку, передвигаясь от 0 вправо по прямой. Тогда интервал (1 , 2) останется непересчитанным, мы до него просто никогда не дойдем.

Такая же ситуация возникает, когда спираль проходит предельную точку. Именно это я называл выше "споткнется". Пересечь она их пересечет, но занумеровать их в порядке пересечения невозможно.

Сообщение отредактировано: Lapp - 7.01.2010 9:04

[andriano]

Допустим, мы пытаемся пересчитать их все по порядку, передвигаясь от 0 вправо по прямой. Тогда интервал (1 , 2) останется непересчитанным, мы до него просто никогда не дойдем.

Такая же ситуация возникает, когда спираль проходит предельную точку. Именно это я называл выше "споткнется". Пересечь она их пересечет, но занумеровать их в порядке пересечения невозможно.

Ты не совсем верно представляешь себе, что такое счетное множество.
Счетность - имманентное свойство множества, оно не зависит от того, в каком порядке мы собрались его пересчитывать.
Приведенный пример множества является счетным (я надеюсь, это не нужно доказывать? Хотя, если нужно, я докажу). При этом счетность ни в коей мере не утрачивается, если мы изобрели такой способ подсчета, который пг нашим представлениям оставляет неучтенными какие-то элементы.
Кстати, это можно доказать.
Предположим, что если мы изобретем способ подсчета множества, при котором некоторым его элементам не удается за конечное число шагов подобрать соответствие, то такое множество не следует считать счетным.
Возмен множество натуральных чисел и сопоставим каждому числу i число i-1. Очевидно, при таком способе подсчета мы не найдем соответствия единице. Откуда выходит, что множество натуральных чисел не является счетным.
Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о том, что счетность зависит от выбранного порядка подсчета неверно.

Т.о. спираль может на конечном отрезке пересекать счетное множество шестиугольников (если мы сумеем таке построить), причем такая ситуация может повторяться счетное количество раз. При этом количество пересечений спирали также будет счетным, т.к. объединение счетного количества счетных множеств является счетным.