Счетность, континуум, биекция, задачи на множества Опции

[Кошка]

Помогите, плиз, решить задачи по доп. главам анализа
1. Док-ть, что кол-во всех пятёрок, которые можно нарисовать на плоскости (непересекающихся, разных размеров), - множество мощности континуума, а множество всех восьмёрок(непересекающихся) не более чем счётно
2. Док-ть, что множество всех непересекающихся следов(множеств трёх отрезков из одной точки) не более чем счётно
3. Пусть r1=1, r2n=rn +1, r(2n+1)=1/r2n, функция f из n в rn – биекция. Доказать, что функция f является биекцией из множества натуральных в множество рациональных чисел.

[Lapp]

Итак, попытаюсь выполнить обещание )).
Собственно, есть возможность, что с первой задачей уже стало понятнее после того, как я исправил свою ошибку. Но все же тут есть, что сказать, думаю, поскольку суть предложений по доказательству была несколько.. non consistent.
Дело в том, что есть разница между линейным континуумом (т.е. на прямой или другой линии) и, так сказать, площадным (не путать с площадным искусством)). Ты помнишь доказательство эквивалентности отрезка и квадрата? Я хочу обратить внимание на то, что в нем используется числовое представление точек, то есть эквивалентность понятия точки на плоскости и объекта, представленного цифровой записью. Это очень тонкий момент, и без него тут не обойтись. Множество точек квадрата двумерно, а отрезка - одномерно, и простым геометрическим процессом типа подобия тут не обойтись. Для доказательства приходится перемешивать точки так, что мама не горюй. Мощность - это всего лишь одна из характеристик множеств; и даже при равной мощности множества могут настолько разниться по своей структуре, что доказательство этого факта (равномощности) может весьма усложниться. Двумерность - это как раз одно из таких усложняющих качеств, принципиально неустранимое.

Возвращаясь к задаче с прямыми, легко увидеть, что это множество существенно двумерно, и надежды на чисто геометрическое его сопоставление с отрезком или прямой сразу рушатся. Остается либо делать, как я сделал (извиняюсь, в первом варианте допустил ошибку), либо доказывать равномощность с отрезком, используя цифровое представление, например. Использовать представление прямой как функции - просто и понятно (только не нужно забывать про вертикальные)). Такое решение базируется на аксиомах и достоверных фактах и содержит строго логические ходы. А именно:
1. имеем плоскость с системой координат на ней;
2. невертикальная (не параллельная оси Y) прямая на плоскости отождествляется с уравнением прямой, характеризуемым двумя числовыми параметрами;
3. совокупность этих параметров итерпретируем как координаты точки в двумерном пространстве;
4. последнее имеет мощность c;
5. множество вертикальных прямых сопоставляем с точками их пересечения оси X и также имеем континуум;
6. сумма двух континуальных множеств суть континуум.
Именно это я называл точным и полным решением, которое примет любой преп.

Справедливости ради следует отметить наличие и других решений. Например, такое: рассмотрим выделенную прямую на плоскости, а на ней - выделенную точку. Рассмотрим прямые, проходящие через эту точку (кроме самой выделенной прямой). Мощность этого множества - континуум, поскольку их можно сопоставить с точками полуокружности-интервала с центром в выделенной точке. Если объединить все такие множества по всем точкам выделенной прямой, то мы получим почти все возможные прямые, и это объединение будет континуально (поскольку континуальное объединение континуумов есть континуум). Добавив сюда все прямые, параллельные нашей выделенной, включая ее саму (тоже континуум), мы снова получим котинуум. Этому решению, как кажется на первый взгляд, удается избежать проблемы с двумерностью, но это иллюзия: то, что континуальное объединение континуумов дает континуум (то, что я упомянул в скобочках), снова доказывается так же, как и континуальность квадрата.. В моем же решении используется объединение всего двух континуумов, и доказательство континуальности такого объединения значительно проще. Да, в нем используется континуальность плоскости - считаю ее доказанной. Если нужно, могу доказать.

Уфф.. Про использование спирали во второй задаче я напишу чуть позже )).