3.14... Опции

[Vasya!]

Говорят, что копьютер вычислял-вычислял и вычислил (например за трое суток) 500 000 000 знаков.

А как вычисляется число Пи?

[Vasya!]

А если вычислять по формуле Лейбница, то этот процесс понятно, что долгий, но он точный?

[Lapp]

А если вычислять по формуле Лейбница, то этот процесс понятно, что долгий, но он точный?

Я же написал оценку точности! Или ты думаешь, что это теория, которая типа сама по себе, а практика сама по себе?...
Повторяю: любой знакопеременный ряд с убывающим по модулю общим членом оценивается следующим образом (в предположении, что An<0, а A(n+1)>0 ) :

Sn < S < S(n+1) ,

где S - бесконечеая сумма. Вычитая из правого неравенства Sn, имеем:

S - Sn < S(n+1) - Sn = A(n+1)

Поскольку обе стороны положительны, можем поставить модули

|S - Sn| < |S(n+1) - Sn| = |A(n+1)|

Я не буду доказывать эту формулу для An>0, это практически очевидно.
Сказанное можно проиллюстрировать картинкой:

Короче, имеем следующее:
Несмотря на то, что мы не знаем бесконечной суммы и не можем ее узнать, мы можем сказать, что всякая n-ная конечная сумма отличается от нее по модулю не более, чем модуль следующего члена ряда. Иначе говоря, если мы знаем, что |An|=0.001, то для того, чтобы получить точность в одну тысячную, нам достаточно сложить n-1 членов ряда.

Теперь ясно?