Дан вектор в R3. Найти 2 перпендикулярных ему, тоже длины. Опции

[TarasBer]

Собсна задача такая. Есть трёхмерный вектор v. Найти векторы v1 и v2, которые перпендикулярны v и друг другу, и имеют ту же длину, что и v. На плоскости аналогичная задача элементарна - вектору (x, y) сопоставляется (-y, x), сопоставление корректно и для нулевой длины. В трёхмерном пространстве такой красивой формулы нету - в топологии есть известная "теорема о причёсывании ежа", говорящая о том, что на поверхности чётномерной сферы не существует ненулевого непрерывного векторного поля. По сути v/abs(v) - точка на двухмерной сфере, v1 и v2 - касательные векторы в точке v. Нам как раз нужно ненулевое векторное поле. Непрерывной зависимости тут не построить, ну и ладно. Вопрос в том, чтобы найти v1 и v2 наиболее оптимальным способом. Вот моё решение "в лоб", мне оно не нравится:

  l := sqrt(sqr(v[0]) + sqr(v[1]) + sqr(v[2]));
  if l < 1E-7 then begin
    v1[0] := 0;
    v1[1] := 0;
    v1[2] := 0;         
    v2[0] := 0;
    v2[1] := 0;
    v2[2] := 0;
  end else begin
    if (v[0] >= v[1]) and (v[0] >= v[2]) then begin  //ищем первый перпендикуляр
      v1[0] := -v[1];
      v1[1] := v[0];
      v1[2] := 0;
    end else begin
      v1[0] := 0;
      v1[1] := -v[2];
      v1[2] := v[1];
    end;
    v2[0] := v[1]*v1[2]-v[2]*v1[1];                   // векторный произведением ищем второй
    v2[1] := v[2]*v1[0]-v[0]*v1[2];
    v2[2] := v[0]*v1[1]-v[1]*v1[0];
    l1 := sqrt(sqr(v1[0]) + sqr(v1[1]) + sqr(v1[2])); // нормируем
    l2 := sqrt(sqr(v2[0]) + sqr(v2[1]) + sqr(v2[2]));
    v1[0] := v1[0]/l1*l;
    v1[1] := v1[1]/l1*l;
    v1[2] := v1[2]/l1*l;
    v2[0] := v2[0]/l2*l;
    v2[1] := v2[1]/l2*l;
    v2[2] := v2[2]/l2*l;
  end;

[Lapp]

Вот моё решение "в лоб", мне оно не нравится

А чем конкретно оно тебе не нравится?
Я, думаю, делал бы так..
Ищем такое преобразование координат (включающее перенос, поворот и масштаб - то есть, не меняющее углы и соотношения длин) которое, скажем, орт Х перводит в наш вектор V. Далее берем орты Y и Z и выпоняем над ними это самое преобразование. Вроде, все..

[TarasBer]

А чем конкретно оно тебе не нравится?

Слишком прямолинейно и уродливо. Учитывая, что мне важна скорость.
К счастью, в большинстве случаев V = (*, 0, 0), этот случай прост, он разбирается в первую очередь.

Я, думаю, делал бы так..
Ищем такое преобразование координат (включающее перенос, поворот и масштаб - то есть, не меняющее углы и соотношения длин) которое, скажем, орт Х перводит в наш вектор V. Далее берем орты Y и Z и выпоняем над ними это самое преобразование. Вроде, все..

Ищем такую ортогональную матрицу M, такую, что MX=V. То есть первой строчкой этой матрицы будет V. А второй и третьей - V1 и V2. Таким образом задача свелась к самой себе. Думал я об этом, думал...

[AruNimotsi]

Не думал как оно будет сложно в программном коде и насколько подойдет .. но суть следующая

1. Приводим начало координат в исходную точку вектора
2. Проецируем вектор на любую плоскость - например XY
3. В плоскости XY строим перпендикуляр к проекции он и будет первым вектором





PS/ честно говоря программер я не очень и расшифровать приведенный код не смог (в смысле не понял как оно работает), так-что извините если повторился

Сообщение отредактировано: AruNimotsi - 20.11.2009 16:18

[TarasBer]

Не думал как оно будет сложно в программном коде и насколько подойдет .. но суть следующая

1. Приводим начало координат в исходную точку вектора

Все векторы и так считаются от нуля.

2. Проецируем вектор на любую плоскость - например XY

А если это вектор (0, 0, 1)? Что делать? Опять разбирать эти случаи? А ещё вектор может быть (0.000000001, 0, 10000000), такой тоже не рекомендуется проецировать на XY.

3. В плоскости XY строим перпендикуляр к проекции он и будет первым вектором

Собсна, именно так у меня первый вектор и ищется, с разбором случаев и с нормированием. Слишком прямолинейно и некрасиво.