Имеется теорема и ее доказательство, но оно краткое, и по мне не очень убедительное. Почему из предпоследнего выражения вытекает последнее. Где для последовательности An выражение по определению (т.е. для любого епсилона...)

Во-первых, вопрос: а ты хорошо ориентируешься во всех этих значках? Нет, я понимаю, что ничего особо мудреного в них нет, но, как в любом языке, для беглого чтения требуется навык. Почему я это говорю? Потому, что то, что я сейчас собираюсь сказать, это то же самое, что написано в доказательстве. Я бы не назвал его кратким, хотя сама специфика значкового изложения подразумевает опускание очевидных ходов..

1. При C=0 вопросов действительно не возникает..

2. Из определения следует, что для БМП An верно, что для любого (подразумевается - сколь угодно малого по абс.величине) положительного числа (обычно тут ставится эпсилон, но буква не играет роли, в частности мы используем эпсилон1) обязательно найдется (если поискать, конечно, но с гарантией найдется) такой номер (назовем его N), что все члены последовательности, имеющие больший номер (тут в твоем доказательстве стоит An, но я бы взял другую букву для индекса - скажем, Am - чтобы не путать элемент последовательности An с самой последовательностью An, как упорядоченным набром чисел An), по модулю обязательно меньше выбранного числа (то есть эпсилон). Это присказка, просто чтоб напомнить определение.

3. Итак, нам нужно доказать, что последовательность Bm, которая получается умножением каждого элемента бесконечно малой последовательности Am на С, тоже бесконечно малая.

4. Действуем непосредственно по определению. Выбираем произвольное эпсилон>0 и стараемся найти для него такой номер N, что для любых m>N выполнено Bm<эпсилон.

5. Для того, чтобы найти это самое N, поступим следующим образом. Возьмем другое число, эпсилон1, которое равно эпсилон/C :
эпсилон1 = эпсилон/C
- и заметим, что оно тоже больше нуля.

6. Нам извстно заранее, что An - это БМП, то есть для нее выполняется определение. Значит, существует такое M, дальше которого все |Am| < эпсилон1.

7. Запишем это неравенство, использовав явное выражение для эпсилон1:
|Am| < эпсилон/C

8. Домножим это неравенство на c. Неравенство останется в силе, так как C>0.
|C*Am| < C*эпсилон/C

9. Сократим C в правой части, а в левой подставим Bm вместо C*Am
|Bm| < эпсилон

10. Мы видим, что для m>M выполняется доказываемое неравенство (см. п.4). Это значит, что мы можем положить наше искомое N равным M, и тогда будет для всех m>N выполнено Bm<эпсилон.

11. Мы нашли N, требуемое по определинию, и определение выполнено для Bm. Следовательно, Bm - это БМП.

12. Таким образом, теорема доказана для случая C>0.

13. Случай C<0 не входит в это доказательство (и он не рассмотрен в том доказательстве, что ты привел). Но в условии не наложено никаких условий на C, так что его следует учесть. Сам сможешь?

Вопросы остались?

PS
Gerc, спасибо за вопрос - приятно слышать, что кто-то не только ищет истину, но и старается ее понять Это я по поводу текущей дискуссии в Свободном..

Меня только одно смущает: неравенство мы домножили на с, а выражение "для любого E/с существует N(Е/с)" оставили не изменяя, но у нас ведь получилось |Am|*c<E, а не |Am|*c<E/c. Исходя из выражения в кавычках должно быть |Am|*c<E/c.

Именно, что это получилось! Не зацикливайся на своих ощущениях, следуй определению.
Еще разок, смотри:
У нас получилось |Am|*С<E
Мы вносим С под знак модуля (можно, поскольку C>0).
Получаем: |Am*C| < E
Ради этого момента (чтоб подогнать под это соотношение) все и делалось!
Ведь теперь под знаком модуля стоит Bm
А это и есть то самое, что требует определение, чтоб Bm была БМП.

Кратко, что мы сделали:
Стали доказывать по определению, то есть выбрали любое E>0 и стали искать N...
Для поиска мы воспользовались тем, что определение заведомо выполняется для Am.
Переделали выбрали E1 для Am специально такое, чтоб при домножении на С оно дало E.
Нашли М, потом домножили неравенство, получили то, что требует определение для Bm!
Понятно?
Спрашивай, если нет

Вопрос остался. Я все-таки сделал в картинке, так наглядней и быстрее набирать

Gerc, пожалуйста, будь внимательнее.
Смотри мой первый ответ, ссылаюсь на него по пунктам.
В п.4 мы выбираем произвольное Е, как того и требует определение для того, чтоб Bn была БМП. Именно это Е затем фигурирует в п.9 после сокращения (без С в занменателе!)
Число Е1=Е/С появляется в п.5, когда мы начинаем оперировать с An, для которой (по условию) определение выполнено. Конструирование Е1 именно таким образом обусловлено желанием, чтоб константа C в конце сократилась. Мы могли выбрать Е1 как Бог на душу положит, но суть решения именно в том, что мы его выбираем так, чтобы в конце иметь чистое Е.
И, как я сказал, его мы и получаем в п.9. Начали с выбора произвольного Е и нашли для него N.

Кстати, заметь, я обозначаю абсолютно одинаковые числа N и М разными буквами! Это я делаю, чтоб подчеркнуть разный смысл их. N - число, которое мы ищем для Bn (доказываем его существование), а М - число, которое заведомо должно существовать для An.

Твой ход!

Ммм... Переваривал долго, но думаю теперь понятно