Почему батарейка разряжается, в смысле почему пропадает разница потенциалов между ее анодом и катодом (если можно так сказать..)? И как получается ее снова зарядить?

Напряжение на выводах химических элементов питания падает из-за увеличения их внутреннего сопротивления: замедляющаяся химическая реакция не может обеспечить прежний ток (заряд, выделяемый за еденицу времени) через нагрузку, следовательно, напряжение (падение напряжения) на нагрузке уменьшается.

Не все "батарейки" можно заряжать. В Сети предостаточно публикаций на эту тему, например:
http://www.computer-museum.ru/technlgy/battery2.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B8%...%BE%D0%BA%D0%B0

Продолжаем. Почему по проводнику, соединённым с плюсовым контактом одной батарейки и минусовым другой, не потечёт электричество?

Потому, что ему течь некуда - система разомкнута. Если замкнуть оставшиеся плюс и минус, то все нормально будет!

А в момент соединения ток будет?
Представим - начальное состояние.
Все 3 объекта изолированы.
второе состояние
соединяем последовательно батарейку(+ -), проводник и (+ -) батарейку.
Что произойдет в момент соединения?
Неужели не будет переходного процесса какого-то?

Наверно, может быть крошечный, мгновенный ток, по аналогии с конденсатором, т.е. какой-то заряд на металическом контакте батареи потечёт к железочке на другой батарейки. Но потом, т.к. цепь не замкнута, ток не потечёт, его будут "держать" не замкнутые полюсы на батарейках. Ведь в батарейке не "налиты" электроны в минусовой полюс, чтобы они могли потечь в "пустой" плюсовой полюс. Химическая реакция это аналогично насосу гоняющему электроны по кругу, если цепь замкнута.

Ну, я могу только основываясь на методе ЭГДА ответить на этот вопрос. Тем более, что Петрович уже провел аналогию между насосом и батарейкой.

Если взять систему из двух насосов, соединенных трубой и залить ее (систему) жидкостью, причем первому насосу поставить заглушку на всасывании, а второму на нагнетании, то при включении насосов в трубе ничего кроме турбулентности (не турбулентного течения) наблюдаться не будет. Причем распределение интенсивности турбулентности по длине трубы будет зависеть от соотношения ее диаметра и длины. Короче говоря даже в момент пуска направленне движение будет отсутствовать.

Я думал химическая реакция перекидывает электроны именно от минуса батарейки в ее плюс, т.е. все это проходит в батарейки и постоянно. А полезная работа состоит в создании электрического поля, как следствие разности потенциалов полюсов батарейки, которое и гонит электроны в проводнике. С моих рассуждений выходит, что на '+' и '-' батарейки всегда есть недостача и, наоборот, избыток электронов.
Вот так в "холстом" состоянии:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
То есть что происходит в батарейки, когда она не работает?

Наверно электроны "вращаются" по орбитам в атомах.