Скажите пожалуйста,
Как в Delphi узнать текущее разрешение экрана пользователя?
И как его можно программно изменить?

Узнать -- GetSystemMetrics;
Изменить -

function SetFullscreenMode:Boolean; 
var DeviceMode : TDevMode; 
begin 
 with DeviceMode do begin 
  dmSize:=SizeOf(DeviceMode); 
  dmBitsPerPel:=16; 
  dmPelsWidth:=640; 
  dmPelsHeight:=480; 
  dmFields:=DM_BITSPERPEL or DM_PELSWIDTH or DM_PELSHEIGHT; 
  result:=False; 
  if ChangeDisplaySettings(DeviceMode,CDS_TEST or CDS_FULLSCREEN) <> DISP_CHANGE_SUCCESSFUL  
   then Exit; 
  Result:=ChangeDisplaySettings(DeviceMode,CDS_FULLSCREEN) = DISP_CHANGE_SUCCESSFUL; 
 end; 
end;