ПОдскажите, как можно найти такой интеграл:
(2х^3 + 7x^2 + 7x + 9)/( (x^2 + x + 1)^2(x^2 + x + 2) ) dx

разложить дробь на простейшие.

Я делала через неопределённые коэффициенты, но дело в том, что квадратные 3-хчлены в знаменателе не имеют вещественных корней, поэтому для нахождения неопределённых коэффициентов у меня получилась система из 6-ти уравнений с 6-ю неизвестными...

и что тебя смущает в этой ситуации?
покажи свое решение...

(2x^3 + 7x^2 + 7x + 9)/ ( (x^2 + x + 1)^2(x^2 + x+ 2) ) =( (Ax + B)/(x^2 + x + 1 ) + (cx + D)/(x^2 + x + 1)^2 + (eX + F)(x^2 + x+ 2) ) / ( (x^2 + x + 1)^2(x^2 + x+ 2) )

(Ax + B)(x^2 + x + 1 ) + (cx + D)(x^2 + x+ 2) + (eX + F)(x^2 + x + 1)^2 = 2x^3 + 7x^2 + 7x + 9

x= 0: B + 2D + F = 9
x = 1: 3A + 3b + 4c+ 4d + 9e + 9f = 25
x = -1: -a + b - 2c +2d - e + f = 7
x = 2: 14a + 7b +16c + 8d + 98e + 49f = 67
x = -2: 6a - 3b - 8c + 4d - 18e +9f = 7
x = -3: -21a +7b - 24c + 8d - 147e + 49f = -3


а дальше - решаем систему из вышеприведённых уравнений,

но что-то мне не кажется такой способ рациональным

по-моему, ты еще одну скобочку потеряла при умножении (Ax + B)...
(Ax + B)(x^2 + x + 1 )(x^2 + x+ 2)
и я, если честно, не поняла, что значит x = 1, x=-1... нас совсем по-другому учили: раскрываешь скобки и находишь соответствие по степеням.

мы разбирали такой способ: берём нули знаменателя, подставляем по очереди в полученое разложение с неопределёнными коэффициентами, так и находим последние.... но подставлять можно любые числа(например, в случае, когда дискриминант выражений в знаменателе меньше нуля) ,как я и делаю....но залезаю в ужасные дебри....
можешь объяснить на примере о твоём способе "раскрываешь скобки и находишь соответствие по степеням."?

легко
дробь: (х+5)/((х+3)*(х+6)) (для примера... )
(х+5)/((х+3)*(х+6)) = (А/(х+3))+(В/(х+6))
х+5=А(х+6)+В(х+3) //привели к общему знаменателю
х+5=Ах+6А+Вх+3В
х+5=(А+В)х+(6А+3В)
приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях х:
А+В=1
6А+3В=5
и решаем эту систему...
Не знаю, будет ли этот метод проще в твоем случае. Все равно расчеты громоздкие, неизвестных много... Но уравнения, вроде, попроще получатся