Вот переклинило меня на простой задаче:
3D пространство, 2 отрезка, заданные 4мя точками...
отрезок A, точки - A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2)
отрезок B, точки - B3(x3,y3,z3), B4(x4,y4,z4)
Как узнать:
1. пересекаются ли они?
2. если да, то найти точку пересечения C(x5,y5,z5)

Тривиальная задачка, но за 10 лет забыл всё нахрен
Помогите, please!

Неужели никто не знает... Там вроде не сложно совсем... формулы забыл просто
Берётся 3 вектора
1. A1-A2
2. B3-B4
3. A2-B3
Затем их смешанное произведение - если оно равно нулю, то векторы пересекаются - если нет, то нет.
Студенты, помогите!

Сначала проверяем, что они в одной плоскости - для этого вычисляем объем тетраэдра A1A2B3B4. Если в одной, решаем систему чтобы узнать, пересекаются ли.

Формулы можно нагуглить.

Это будет определитель 3-го порядка. Столбцами (строками) в этом определителе будут координаты трех, вышеуказанных векторов.
Вычислили... Теперь знаем, есть ли точка пересечения...
Как найти её координаты?

Не совсем. Если не в одной плоскости, то точки пересечения точно нет, если в одной - то может и есть.

Чтобы узнать, задаем прямые, содержащие отрезки, параметрически; для первой прямой:

x = A.x + (B.x - A.x) * t
y = A.y + (B.y - A.y) * t
z = A.z + (B.z - A.z) * t

Для второй аналогично.

Получаем систему:

A.x + (B.x - A.x) * t1 = C.x + (D.x - C.x) * t2
A.y + (B.y - A.y) * t1 = C.y + (D.y - C.y) * t2
A.z + (B.z - A.z) * t1 = C.z + (D.z - C.z) * t2

3 уравнения, 2 неизвестных. Система избыточна, но все три уравнения нужны на случай, если обе прямые параллельны какой-то из осевых плоскостей.

Решать ее лучше не вручную (если первое уравение имеет вид const = const то если константы разные, то решения нет, а иначе выбрасываем уравнение; а если один из коэффициентов (B.x - A.x) или (D.x - C.x) равен нулю, то сразу вычисляем соответственно t2 или t1 и смотрим куда подставить и т.д и т.д и т.д.), а просто полностью реализовать метод Гаусса.

Если решения нет - прямые параллельны. Если решений бесконечно много - прямые совпадают, и можно, например, проверить каждый конец каждого отрезка на принадлежность другому отрезку. Если решение единственно - прямые пересекаются, теперь проверяем условие 0 <= t1, t2 <= 1 чтобы узнать, принадлежит ли точка пересечения обоим отрезкам. Если да, подставляем t1 в параметрическое уравнение первой прямой (или t2 - в уравнение второй), получаем ответ.

Ну так если определитель 3 порядка (он же "объем тетраэдра A1A2B3B4") равен нулю, значит полюбому в одной плоскости...

Я бы сказал лежат в параллельных плоскостях

Система жестокая получилась...
Если допустить, что решение существует и причём только одно, как это свернётся?
Частный случай: A(5;7;4) B(9;17;16) C(7;14;2) D(7;10;18)
Если это нарисовать, то видим точку пересечения E(7;12;10)
Векторы: AB(4;10;12) CB(2;3;14) CD(0;-4;16)
Определитель 3 порядка: 4*(-4)*14+10*16*2+0*3*12-2*(-4)*12-0*10*14-3*16*4=-224+320+96-192=0 (точка пересечения точно есть)
Как выйти на её координаты E(7;12;10)?

Ну да. По-любому в одной. Но это совсем ведь не значит, что отрезки имеют общие точки.


А я бы сказал - параллельны. Они уже лежат в одной плоскости, т.к. если определитель не равен нулю, мы вообще ничего дальше не проверяем.


Я уже на это ответил. Решить систему относительно t1 и t2 методом Гаусса и подставить значение t1 в параметрическое уравнение первой прямой. Откуда вообще система взялась понятно?

P.S. На всякий случай еще раз: если определитель равен нулю, это еще не значит, что точка пересечения точно есть. А если точка пересечения *прямых* есть, это еще не значит, что *отрезки* пересекаются.

Пожалуйста, перечитай внимательно весь мой предыдущий пост.

Перечитал... Всё, разобрался...

только не понял:

на что это может повлиять?

Я имел ввиду, что нельзя отбросить, к примеру, всегда третье уравнение, и решать систему из первых двух - любое из трех уравнений может оказаться в какой-то ситуации как важным, так и лишним.

Дело в том, что если обе прямые параллельны какой-то из осевых плоскостей, соответствующее уравнение в системе примет вид const = const, т.к. коэффициенты при t1 и t2 обратятся в 0. И тогда очевидно, что отбрасывать нужно именно его - если отбросить одно из двух других, система станет неполной вообще.

Если же такая ситуация гарантированно невозможна, то можно заведомо отбросить *любое* из трех уравнений, потому что каждое является в таком случае следствием двух других (из-за того, что максимальный ранг равен 2, и нет нулевых строк).

Наконец-то реализовал...
Всем огромное спасибо!

Просьба к Модераторам!
Поднять репутацию Michael_Rybak за подробный, развёрнутый ответ...
Сам не могу, т.к. маленький ещё

Чтоб не флеймить в теме , внесу свои 5 копеек:
- две любые прямые в пространстве всегда лежат в параллельных плоскостях.
А ты давай, эта.. расти!
А вообще, я сам хотел повысить репу Рыбаку пока читал, уже в середине темы. А в конце встретил твою просьбу, коюю и выполняю.. Сделано..

Acticin Store

Buy Cialis 20mg Fda Approved Pharmacy