вот само задание.



вот мое абсолютно неправильное решение)

пример для предела: lim cos(2-3x)=cos1 при x-->1



а мне нужно решить для примера-- lim ctg(2x+9)=ctg3 при x-->-3


определение предела на языке эбсэлон-дельта:
число А называется пределом(пределом справа,пределом слева) функции f в точке x0 принадлежащей множеству X, если для любого эбсэлон больше нуля существует дельта зависящее от эбселон и большее нуля такое,что для любого х удовлетворяющего неравенству (x0-дельта)<х<(х0 + дельта) выполняется неравенство модуль(f(x)-A)<эбсэлон

Определение неправильное.
Сама сможешь исправить?

ээ Оо с методички переписывала же.
число А называется пределом(пределом справа,пределом слева) функции f в точке x0 принадлежащей множеству X, если для любого эбсэлон больше нуля существует дельта зависящее от эбселон и большее нуля такое,что для любого х *принадлежащего Х и не равного х0*удовлетворяющего неравенству модуль(х-х0)<дельта ( (x0-дельта)<х<(х0 + дельта) ) выполняется неравенство модуль(f(x)-A)<эбсэлон??????

Добавлено через 4 мин.


вот.

Молодец
Ключевые слова именно вот эти:
Если их не сказать, то это определение сразу превращается в определение непрерывности (вы его скоро пройдете, судя по всему).

Чак че там за азадача? Ага..

lim ctg(2x+9)=ctg3 при x-->-3

Это что-то не похоже на правду..
Подставь х в выражение. Получишь:

lim ctg(2*3+9) = lim ctg(15)

Это как-то совсем не то. Доказать?

икс стремится к минус трем)тоесть все получается)

Добавлено через 4 мин.
угу..доказать(
я дошла до того места где нужно сделать неравенство ((минус синус в квадрате от аргумента икс плюс три деленный на синус от аргумента два икс плюс девять на синус трех умноженное в знаменателе.)) меньше либо равен (вроде бы) ц умнож-ое на модуль икс плюс три,что в свою очередь меньше эбсэлон.
и доказать нужно,что минус1 деленное на синус от аргумента два икс плюс девять должно быть меньше либо равно какойто константы)

Ой... блинннн... прости сослепу)))

Тогда получается. Сейчас я гляну твое док-во. Посмотрим, что там не так))

ctg(2(-3+d)+9) - ctg(3) =
ctg(3+2d) - ctg(3) =
cos(3+2d) / sin(3+2d) - cos(3) / sin(3) =
(cos(3+2d)*sin(3) - cos(3)*sin(3+2d))/(sin(3+2d)*sin(3))

В числителе стоит синус разности sin(3-3-2d) = -sin(2d)
причем, синус стремится к нулю, при аргументе, стремящемся к нулю.
Это означает, что для любого e1 существует такое d1 (ставлю индекс 1, чтоб отличать от основных e и d), что при 2d < d1 будет выполнено Abs(sin(2d))<e1

Перевари пока это, я допишу конец.
Кстати - можно опираться на стремление синуса к нулю? Это доказано у вас?

нет. это не доказано..но ведь доказательство по заданию надо вести по определению строго. то есть нужно выбрать окрестность точки х0. итд.
для начала преобразовать модуль разности..здесь нам сказали оценивается тольок стандартный метод решения. |ctg(2x+9)-ctg3|=|sin(-2x-6)/(sin(2x+9)sin3)|=|-sin2(x+3)/sin(2x+9)sin3| учитывая что |sinx|<=1 и |sinx|<=|x|. требуется доказатьчто -1/sin(2x+9)<=M(какойто константы).наверху еще синус двойного угла раскрыть надо..ну и так далее наверно.

Добавлено через 10 мин.
ага.икс заменяется на (-3+d)? если да то понятно. и про стремление синуса к нулю при стремлении аргумента к нулю тоже ясно.)

Конечно, строго!! Только строго, и никак иначе!
Думаешь, зачем я тебя заставил исправить определение?
Ты только пойми, что при любом уровне строгости есть еще уровень детализирования. Я некоторые вещи, которые считаю очевыидными, опускаю (в определениях этого делать НЕЛЬЗЯ!) Если хочешь, я буду говорить абсолютно все. Но дело не в этом.. Дело в том, что тебе нужно перестать, наконец, повторять "нам говорили". Есть одна ИСТИНА, и она либо внутри тебя, либо ее нет вообще. В математике нужно понять смысл. И ты увидишь, что все, кто "вам говорил" (если они умные люди, конечно, а я так думаю) не станут возражать. Потому что способ неважен. Важна суть. А суть придет с пониманием каждой мелочи. Хочешь так? Тогда старайся понять меня. Задавай вопросы, говори, где неясно. Этот материал очень важный. Не с точки зрения дплома, а сточки зрения развития абстрактного логического мышления. Если поймешь его - тебе просто откроется новый мир.

Да, х заменяется на -3+d. Стремление синуса к нулю могу тоже доказать, если хочешь. Но, сама знаешь, не нужно одно и то же доказывать сто раз. Если доказано - можно опереться.

Хорошо, давай сначала .

Делаем замену y=-3+x (тогда x-x0 = x-3 = y).
Преобразуем разность функций:

ctg(2(-3+y)+9) - ctg(3) =
ctg(3+2y) - ctg(3) =
cos(3+2y) / sin(3+2y) - cos(3) / sin(3) =
(cos(3+2y)*sin(3) - cos(3)*sin(3+2y)) / sin(3+2y) / sin(3) =
sin(2y) / (sin(3)*cos(2y)+cos(3)*sin(2y)) / sin(3)

Теперь выберем произвольное e (эпсилон). Наша задача: найти такое d (дельта), чтобы при любом y, удовлетворяющем условию 0<y<d выполнялось и

|sin(2y) / (sin(3)*cos(2y)+cos(3)*sin(2y))| / |sin(3)| < e .

С учетом, что sin(3)>0 :
|sin(2y) / (sin(3)*cos(2y)+cos(3)*sin(2y))| < e*sin(3) .

Поскольку обе стороны неравенства больше нуля, переворачиваем его (единицу делим на стороны со сменой знака неравенства) :
|sin(3)*cos(2y)/sin(2y) + cos(3)| > 1 / (e*sin(3)) .

Используем свойство модуля |a-b| => |a| - |b| , завышаем требования:
|sin(3)*cos(2y)/sin(2y)| - |cos(3)| > 1 / (e*sin(3))
- если выполнено это, то выполнено и то.

Так как cos(3)~-0.99<0, то |cos(3)|=-cos(3). Переносим его вправо:
|sin(3)*cos(2y)/sin(2y)| > 1/e/sin(3) - cos(3)

Так как sin(3)~0.14>0 , то:
|cos(2y)/sin(2y)| > (1/e/sin(3) - cos(3)) / sin(3) = M
- обозначим M для простоты.

Еше раз переворачиваем:
|sin(2y)/cos(2y)| < 1/M .

Выберем d<Pi/6 , тогда cos(2y)>1/2>0
Получаем:
|sin(2y)| < cos(2y)/M .

Снова загрубляем, заменяя косинус на 1/2:
|sin(2y)| < 1/2/M.

Используя |sin(x)|<=|x| , снова загрубляем неравенство:
|2y| < 1/2/M ,
или:
|y| < 1/4/M
- снова, если выолнено это, то выполнено и то.
Это значит, что можно взять d=1/4/M , то есть:

d = sin(3) / (1/e/sin(3) - cos(3)) / 4 .

Осталось пересечь с наложенным ранее условием d<Pi/6, и это и есть искомая дельта.
Надеюсь, не ошибся в арифметике . Отвык я от нее..

Добавлено через 10 мин.
Стремление синуса к нулю эквивалентно в определенном смысле неравенству |sin(x)|<|x|, которое использовано в методичке. Так что я свел к нему.

все решение оч клевое)

но вот эта штука..по свойству как нам говорили- модуль разности больше либо равен модулю разности модулей.
|a-b|>=||a|-|b||,
и если разложить то совокупность( |a-b|>=|a|-|b| или |a-b|<=-(|a|-|b|) )

блин точно.клева)

Да, это тонкое место. Хорошо, что обратила внимание . Наверное, мне нужно было чуть подробнее..

Из |a-b|>=||a|-|b|| , учитывая, что |x|>=x сразу следует, то, что я написал. Но следует и |a-b|>=|b|-|a|. Вопрос: почему я взял именно то, что взял?
Ответ: потому что мне важно само неравенство, а не полнота рассмотрения. Я нахожусь в процессе ВЫБОРА дельты, и делаю это так, как хочу. Важно то, что это неравенство ВЕРНОЕ - вот и все, больше от него ничего не требуется . Я взял именно это, потому что мне так было нужно. Почему человек выбирает дорогу на перекрестке? потому что предполагает, что по этой дороге его место назначения. И если пришел правильно - все хорошо, ничего больше не надо. А если нет - возвращается к перекрестку и меняет дорогу . Это не есть решение уравнения, где нужно обязательно найти ВСЕ корни (обязательно пройти по всем дорогам, ведущим в нужное место).

|sin(2y)| < 1/2/M.

Используя |sin(x)|<=|x| , снова загрубляем неравенство:
|2y| < 1/2/M ,

--исходя из того что синус в исходном(верхнем)неравенстве меньше чего то.
и используя свойства получаем большее синуса число Х,то нельзя подставить этот больший Х в неравенство ,где синус заведомо меньше чего то,потомучто больший Х может быть больше этого чегото,разве не так?

Делаем замену y=-3+x (тогда x-x0 = x-3 = y).
Преобразуем разность функций:

ctg(2(-3+y)+9)

--тоесть нужно для проверки ctg(2(-3+(x-3))+9)=ctg(2(x-6)+9)=ctg(2x-3)???это верно??

Не так.
Ты опять путаешь пооцесс подбора подходящего дельта с процессом решения неравенства.
Хорошо. Смотри. Я тебе покажу, в чем разница между ними.

Допустим, мы решаем неравенство 2x<4 . Допустим, это очень трудное неравенство. И чтоб его решить, мы напрягаем мозги и вспоминаем такой факт: 2x<=4x . Мы берем и заменяем 2х на 4х. И получаем неравенство: 4x<4 . Допустим, это неравенство не вызывает у нас никаких трудностей и мы пишем ответ: x<1. А учитель ставит нам 2, и говорит, что верный ответ x<2. Он тыкает в наш ответ своим жирным пальцем и грит: вы потеряли значения х от 1 (включительно) до 2 (не включительно). Прав он? Увы, да.

А теперь к нам приходит грустный лепрекон и грит, что ему, чтобы успеть на радугу, нужно сесть на поезд, время отправления которого должно удовлетворять неравенству 2x<4 , а это очень трудное неравенство, и он не знает, как это решить. Он уже проверил числа 125, 218, а также 347947293 - все его самые любимые числа, но они не подходят.. Мы смотрим на это неравенство и грим: не плачь, лепрекон. Мы тоже не знаем, как решать это неравенство. Но мы знаем, что 2x<=4x . И если мы вместо 2х подставим 4х, а потом решим его, то решения будут не только удовлетворять решенному неравенству, но и исходному, которое мы решить не могем. Но поскольку тебе, лепрекон, подойдет любой поезд, лишь бы он удовлетворял твоему условию, то ты просто выбери поезд, который подходит под наш ответ. Может, ты не успеешь пообедать перед тем, как сесть на поезд (поскольку мы потеряли некоторые решиния, в том числе, возможно, самые удобные для тебя), но зато ты успеешь до того, как радуга растает в воздухе вместе с твоими мечтами об уютном маленьком думике под корнями большого сикамора за $ пару лимонов..

Поняла? Нам не нужно искать ВСЕ решения. Поэтому мы подставляем БОЛЬШЕЕ выражение, ТЕРЯЯ некоторые ответы. Ведь если мы найдем числа, которые делают верным неравенство даже с БОЛЬШЕЙ левой частью, то заведомо они будут делать верным и неравенство с МЕНЬШЕЙ левой частью. Но зато неравенство упрощается! Иначе говоря, та дельта, которую мы найдем, будет не самая просторная для наших иксов, но - в тесноте, да не в обиде.. ))

Еще раз: если ты работаешь в картографической конторе, тебе необходимо нанести ВСЕ туалеты в городе на карту. Если ты пропустишь хоть один - карту объявят неправильной и не станут покупать! Если ты просто хочешь писать... надо объяснять, что тебе достаточно найти один из них, любой?
Вот это и есть разница в этих двух процессах

Хм... не совсем тебя понял..
Заменой я просто сместил интересующую нас точку в ноль. От смещения (без умножения) размер дельты не поменяется. Нам только нужно помнить, что изначально она вокруг точки х=3, а после замены стала вокруг у=0. Ну, если хочешь, проведи аккуратную замену обратно... Только, как я уже сказал, на размер дельты она не повлияет .

ну здорово^_^спасибо)теперь я спокойна))

непринятое решение
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

принятое решение
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

В непринятом решении у тебя грубая.. ну, может, описка, но вызывающая подозрение, что ты не понимаешь, о чем речь. Ты пишешь:Нажмите для просмотра прикрепленного файла - и при этом путаешь минимальное с макимальным.. Ессно, нельзя тут заменять на макимальное значение! Но комизм ситуации состоит в том, что это значение (1/2) на самом деле есть минимальное, и поэтому можно..

Ну, а тут ты благополучно и без тени сомнения используешь то самое |sin(x)|<=|x| о котором спрашивала меня: Нажмите для просмотра прикрепленного файла - и никто тебя за это не наказывает..

Так что остается полагать, что твой экзаменатор придрался именно к слову "максимальное" - написанному, возможно, по недопониманию, а возможно, просто по недогляду..

А вообще - спасибо! Ты первый человек тут, который принес разбирать задачи после сдачи

нет. к этому слову не придралась она. ей в непринятом решении не понравилось эквивалентная замена. потомучто как раз то что я и спрашивала вызвало подозрение. как бы.допустим синус икс равен 0,01 и это меньше 0,2(допустим значение эквивалентного икса)но это не меньше 0,1, то есть замена недопустима так как не строго все обосновывается,и выбирается окрестность в которой такое возможно в самом еще начале. что то вроде этого было ее аргументом. но она еще много к чему придиралась))

Добавлено через 1 мин.
косинусом была опечатка моя. я много раз ей решение переписывала просто.

Добавлено через 59 сек.
а в том месте где в принятом решении я делала эту замену там окрестность слишком мала от 2,99 до 3,01))

кучаТрупов, постарайся понять, что этот переход в точности то же самое, что у тебя написано на втором листочке. Я не знаю, что именно послужило причиной твоего подозрения именно к этому месту, но факт тот, что ты именно то же самое применяешь в другом месте (см. второй из моих процитированных фрагментов). Я могу привести тебе те же самые рассождения про 0.01 и 0.02, и попросить тебя ответить на них. Сможешь - очень хорошо, твой ответ будет также и ответом самой себе на вопросы мне . Или ты видишь разницу?..

Ну, хорошо, я отвечу тебе на это рассуждение: Ну, давай допустим, что х=0.02, и Sin(0.02)=0.01 . И если мы выбрали окрестность ТАК, что этот х удовлетворяет нашему неравенству при данном эпсилон, то Sin(x) и ПОДАВНО будет ему удовлетворять, поскольку он равен 0.01, что есть меньше 0.02. И все хорошо!

кучаТрупов, я не знаю, как еще обяснить. В одном месте ты называешь. Одно и то же в двух эквивалентных рассуждениях ты видишь как протвоположное . И, если верить твоим словам, то и твоя преподавательница тоже.. А дело все только в форме подачи. Проснись Мне по большому счету наплевать на то, как думают твои преподаватели, но очень хочется, чтоб ты обрела ясность..

я с ней спорила 40 минут. меня возненавидила вся группа)им пришлось еще пару часов сидеть на зачоте))
я понимаю все. поняла при первом же объяснении еще давно. просто говорю что не понравилось преподу..

ну... ясно..
тут ниче не поделаешь..
Однажды я спорил с одним на экзамене. В результате он меня выпер с тройкой: "Ставлю 3, чтоб не приходил на пересдачу и не портил нервы другим преподавателям!"
Можете мне не верить, но я был прав..


Добавлено через 59 сек.
Не любят они этого..