Цитата(Сергей Меркурьев @ 17.07.2009 12:24)
(И пример - 2 3 1. Ответ - 3 1 2).
Вот с этим я вообще разобраться не могу...
Все нужно проделать, и сразу станет ясно. Смотри..
Есть упорядоченное множество:
a b c
Берем перестановку из этого примера:
2 3 1
Действуем, как она указывает:
на первое место ставим второй элемент (b),
на второе место ставим третий элемент (с ),
на третье - первый (a).
В результате имеем:
b c a
Теперь мы имеем множество в новом порядке. Вопрос: какой должна быть перестановка, чтобы вернуться к старому порядку? Конструируем эту перестановку:
на первое место надо поставить a, а оно у нас имеет номер 3,
на второе место надо поставить b, а оно у нас имеет номер 1,
на третье место надо поставить c, а оно у нас имеет номер 2.
Записываем это в виде перестановки:
3 1 2
Это и есть ответ.
Ясно?
-----------------------
С формулой все просто. Я немного уточню, что
sheka (извиняюсь, первоначально было amega) сказал.
Пусть число перестановок для множества из N шаров равно числу П(N). Попробуем на основании этого выяснить, чему равно число перестановок множества из N+1 шаров. Будем действовать за N+1 шагов:
1. Поставим на первое место шар номер 1. Остальные образуют множество из N шаров, его число перестановок равно П(N).
2. Поставим на первое место шар номер 2. Остальные образуют множество из N шаров, его число перестановок равно П(N).
3. Поставим на первое место шар номер 3. Остальные образуют множество из N шаров, его число перестановок равно П(N).
....
N. Поставим на первое место шар номер N. Остальные образуют множество из N шаров, его число перестановок равно П(N).
N+1. Поставим на первое место шар номер N+1. Остальные образуют множество из N шаров, его число перестановок равно П(N).
В результате на первом месте побывали все шары, причем по одному разу. Остальные шары расставлялись всеми возожными способами. Значит, мы выполнили все перестановки. Для того, чтобы найти их число, нужно сложить числа перестановок на всех шагах. В каждом из них П(N), всего шагов N+1. Следовательно, общее число перестановок равно:
П(N+1) = (N+1)*П(N)
Уже отсюда видно, что смахивает на факториал (но еще остается возможность включения некоторого коэффициента). Чтобы в этом убедиться, нужно рассмотреть начало: число перестановок множества из 1 шара равно 1. Это как раз совпадает с факториалом. Следовательно:
П(N) = N!