Дано n∈ℤ, n³ чётно и 2^1/3∈ℝ-ℚ. Нужно доказать, что простое n будет тоже чётным, и таким же образом (?!), что 2^1/2 тоже иррационально.
Доказывать первую часть наоборот кажется намного проще:
n,k∈ℤ, n=2k
n³=(2k)³=8k³
m∈ℤ, n³=8k³=2(4k³)=2m

А вот об иррациональных идей вообще мало. Первый же вопрос проскочивший в уме - как их вообще обозначать. Ведь если рациональные можно обозначить через r∈ℚ; p,q∈ℤ, r=p/q (q≠0), то насчёт иррациональных мне остаётся лишь гадать

Идеи?

"простое n" в смысле n без куба?

Да, так и есть

Я не понял, при чем тут это: 2^1/3∈ℝ-ℚ. Если это условие выкинуть, то все хорошо. И почему это иррациональность кубического корня из двойки попала в "Дано"

А почему тебе не понравилось то определение, которое у тебя употреблено?
i∈ℝ-ℚ
Ты уясни себе, что математика (и даже только теория чисел из нее) не ограничивается привычными тебе формулами. Легко доказать (строго математически)), что никаких формул не хватит для описания всяких множеств и функций, которые в ней могут возникать.
но это к данному случаю не относится, правда.

i∈I; если для любых p,q∈ℤ, i≠p/q

Слова в этом определении можешь заменить на кванторы, если так больше нравится..

Что касается решения самой задачи, то оно совсем простое. Если мне не изменяет память, оно (вторая часть в смысле) было на первой странице школьного учебника (Кочеткова?).
Проводи его "от противного". Предположи, что это не так и приди к противоречию. Если понадобится, подскажу и дальше..

Это без использования корня третей степени...
А вот к чему его приделать? Наверное, все же по-другому имеется в виду.

Моя позиция по этому вопросу проста: верное решение - оно и в Африке верное решение. К тому же, указание по способу решения соблюдено. Введение дополнительного условия (с кубическим корнем) абсолютно ничему не противоречит в данном случае.

Я согласен, иногда весело поломать голову над тем "что же все-таки имелось в виду". Разумеется, я и тут это сделал. Увы, ничего лучше, чем ошибка при переписывании условия, мне не явилось. Perfez предпочитает промолчать - дело его..