Всю программу скидывать не буду, смысл задачи в том, что нужно упорядочить записи по датам дней рождения. Что-то у меня не получает. При компилировании выдает "Операция '>' не применима к типу array [1..3] of integer". Помогите, пожалуйста)

Да, непременима.
Но сравнение сложных типов можно реализовать отдельной функцией. Например, для твоего случая

{возвращает 0 если массивы одинаковы, 1 если a>b и -1 если a<b}
function CmpArrayInt(const a, b: array of integer): integer;
begin
.......................
end;

....................
   if CmpArrayInt(inf[i].dt, inf[j].dt)>0 then
....................

Но в данном конкретном случае дату можно заменить на число и сравнивать два целых числа.
Вот смотри, берём дату YYYY MM DD - массив из трёх чисел - и превращаем в одно число
DD+100*MM+10000*YYYY
в твоём случае

   if inf[i].dt > inf[j].dt then

превращается в

   if (inf[i].dt[1]+inf[i].dt[2]*100+inf[i].dt[3]*10000) > (inf[j].dt[1]+inf[j].dt[2]*100+inf[j].dt[3]*10000) then

Теперь дата это не набор чисел а одно число - бери и сравнивай