Пусть ^(лямбда) - собственное значение матрицы А. Докажите,что вектор f(фи) составленный из алгебраических дополнений любой строки определителя |A-^(лямбда)E|, удовлетворяют соотношению: Аf=^f, т.е является либо нулевым вектором, либо собственным вектором матрицы А.

Очень прошу помочь решить...

Этот определитель нулевой, и строки линейно зависимы. Возможны 2 случая. 1) система всех строк матрицы кроме выбранно нами также линейно зависима, и, следовательно, все алгебраические дополнеия будут нулевыми как миноры линейно зависимой системы. Тогда вектор f нулевой.
2)Осталось разобрать случай, когда ранг матрицы A-^(лямбда)E на единицу меньше её размера, и система всех строк матрицы кроме выбранной линейно независима.
Пусть размер матрицы равен n. Докажем, что для любого i от 1 до n произведение i-й строки А на i-й элемент вектора f равно произведению ^ на
i-й элемент вектора f.
Но ведь, если бы мы от i-го элемента i-й строки А мы отняли бы ^, то при умножении стороки на i-й элемент вектора f получился бы как раз определитель матрицы A-^(лямбда)E, посчитанный по её i-й строке, то есть ноль! {Это надо просто увидеть, вспомнив, что алгебраическое дополнение - это соответствующий минор} Теперь, раскрыв скобки в слагаемом
(Аii-^)*fi и перенеся ^*fi в правую часть, получим искомое равенство

ОТЛИЧНО! спасибо большое! :yes: :p10: