type words=array of string;

procedure add_to_array(var base:words; rus:string);
var k,i:integer;
   tmp:words;
begin
i:=length(base);
tmp:=nil;
setlength(tmp,i+1);
for k:=1 to i do
       begin
       tmp[k]:=base[k];
       end;
tmp[i+1]:=rus;
base:=nil;
i:=i+1;
setlength(base,i);
base:=copy(tmp,0,i);
end;

procedure TForm1.baseframeaddbuttonClick(Sender: TObject);
var i,k:integer;
   str,rus:string;
   base:words;
begin
rus:=baseframe.rusword.Text;
i:=length(base);
add_to_array(base,rus);
end;

tmp[i+1]:=rus;

setlength(tmp,i+1);

procedure add_to_array(var base: words; const rus: string);
var
  i: integer;
begin
  i := length(base);
  setlength(base, i + 1);
  base[i] := rus;
end;

var base:words;

procedure add_to_array(var base:words; rus:string);
var i:integer;
begin
 i := length(base);
 i:=i+1;
 setlength(base, i);
 base[i] := rus;
end;

procedure TForm1.baseframeaddbuttonClick(Sender: TObject; var base:words);
var i,k:integer;
   str,rus:string;
begin
rus:=baseframe.rusword.Text;
add_to_array(base,rus);
i:=length(base);
{вывод массива в TEdit}
for k:=1 to i do
       begin
       str:=str+', '+base[k];
       end;
baseframe.edit3.text:=str;
end;

procedure TForm1.baseframeaddbuttonClick(Sender: TObject; var base:words);
var i,k:integer;
  str,rus:string;
begin
 rus:=baseframe.rusword.Text;
 add_to_array(base,rus);
 i:=length(base);
 {вывод массива в TEdit}
 str := ''; // это желательно
 for k:=0 to Pred(i) do // Внимание !!! элементы начинаются с 0-го
   begin
     str:=str+', '+base[k];
   end;
 baseframe.edit3.text:=str;
end;

procedure add_to_arr(var base:words; const rus,eng:string);
var i:integer;
begin
i:=length(base[cols]);    {так}
i:=i+1;
setlength(base, cols, i);
base[0,pred(i)]:=rus;
base[1,pred(i)]:=eng;
end;

procedure add_to_arr(var base:words; const rus,eng:string);
var i: integer;
begin
 i:=length(base[cols]);    {так}
 i:=i+1;
 setlength(base[cols], i); // Вот это !!!
 base[0][pred(i)]:=rus;
 base[1][pred(i)]:=eng;
end;

type
   words=array of array of string;
...
const cols=2;
var base:words;
...

procedure add_to_arr(var base:words; const rus,eng:string);
var i: integer;
begin

i:=length(base[cols]);    {компилятор выделяет эту строку красным цветом}

i:=i+1;
setlength(base[cols], i); // Âîò ýòî !!!
base[0][pred(i)]:=rus;
base[1][pred(i)]:=eng;
end;

procedure refreshbaseview(base:words; var str:string);
var i,k:integer;
begin
str:='';
i:=length(base[cols]);
for k:=0 to pred(i) do
if k= 0 then str:= base[0,k] + ' - ' + base[1,k] +';' +#13
       else str:= str + base[0,k] + ' - ' + base[1,k] + ';' +#13;
end;

procedure TForm1.baseframeaddbuttonClick(Sender: TObject);
var str:string;
begin
add_to_arr(base,baseframe.rusword.Text,baseframe.engword.text);
refreshbaseview(base, str);
baseframe.baseview.Caption:=str;
baseframeClearbuttonClick(sender);
end;

setlength(base, 3);

setlength(base,3)

procedure add_to_arr(var base:words; const rus,eng:string);
var i: integer;
begin

i:=length(base[0]);

i:=i+1;
setlength(base[0], i); // увеличиваем длину первого массива
setlength(base[1], i); // увеличиваем длину второго массива
base[0][pred(i)]:=rus; // и работаем с ними
base[1][pred(i)]:=eng;
end;

type strRec = record
 rus, eng: string;
end;
var base: array of strRec;