Как обещал - исправляю свои ошибки. Еще раз прощу извинения - я отвечал в перерывах, пока копировался системный диск (в несколько этапов, ввиду зоопарка стандартов), который полетел на сервере, и видимо моя башка не до конца переключалась.
Итак,
1. Множество действительных чисел несчетно, док-вом является диагональ Кантора. Его мощность зовется мощностью континуума (от слова "непрерывный"), или "c".
2. Рациональные числа - это те, которые представимы в виде p/q (от слова "рацио", отношение). Я их зря сюда вообще тогда приплел. В десятичном виде они представляют собой конечные или периодические дроби (что одно и то же, если приписать 0 в периоде. Их множество счетно, то есть имеет мощность алеф-ноль.
3. Алгебраические числа - это числа, являющиеся корнями многочлена с
целыми коэффициентами (можно, впрочем, сказать и с рациональными, результат будет тот же, как легко видеть). То, что они выходят за рамки рациональных, легко видеть, доказав, что квадратный корень из 2 не может быть представлен в виде дроби. Конечно, их множество счетно (то рассуждение, которое я привел вчера, остается в силе).
4. Существование трансцендентных чисел следует из того, что множество алгебраических чисел счетно, а действительных - несчетно. Отсюда же следует, что их множество континуально. Пример - число "пи" или "е".
Вот, по сути и все. Досадную чушь я вчера наплел.. Не особо много, но математика не терпит даже малейших ошибок
.
И последнее замечание. Мы с тобой все это говорили в день 88-летия со дня смерти Георга Кантора, 6 января 1918. Он родился в 1845 г в Петербурге, но в России не учился и не работал. Он был, наверное, одним из самых великих математиков. Мир праху его.