8. Стоп, но это же не степенной ряд! Общий член степеного ряда должен иметь вид An(z-z0)^n, а тут z в знаменателе.
3. И тут странно... ведь данная функция w(z) - просто константа!
5. z=x+iy
f(z)=(x^2+2xy-y^2)/3 +ix-y;
f(z)=u+iv
u=(x^2-y^2)/3 -y
v=(2xy)/3 +x
du/dx =2x/3 =dv/dy;
du/dy = -(2y)/3 -1 =-dv/dx;
f'(z)=2z/3 +i
4. a) Воспользовавшись разложением e^z= сумма ряда [n=0] z^n/(n!), получаем сумма ряда [n=1] ((3+i)^n)/n! = e^(3-i) -1.
б) ((1+i)^n)/3^(n/2) = ((i+1)/3^(1/2))^n. Так как | (i+1)/3^(1/2) | = (2/3)^(1/2) <1, то воспользуемся разложением 1/(1-z) = сумма ряда [n=0] z^n , получаем сумма ряда [n=1] ((1+i)^n)/3^(n/2) = 1/(1-(i+1)/3^(1/2)) -1.
6. Интеграл по замкнутому контуру находится как произведение 2*pi*i на сумму вычетов подинтегральной функции в особых точках, принадлежащих области, ограниченной контуром.
(Re(z))^2 dz L-граница множества система(0<=Rez<=4 0<=Imz<=8) равен 0, особых точек нет
cos(z/3)dz/z^2-3iz две особые точки z=0 и z=3i. В окружность L попадает только z=3i, вычет равен
Код
res cos(z/3) /(-3iz+z^2) = res (1-(z^2)/(9*2!)+(z^4)/(9*4!)-...) /(-3iz+z^2) =
3i 3i
= res (1+...)/(-3iz+...) =1/(-3i)
3i
Интегал равен 2*pi*i /(-3i) = -2*pi/3
(z^3+z^2+1)dz/(z^4+2Z^2-8) Найдём особые точки, приравняв знаменатель к нулю. 4 особые точки(корни многочлена 4 порядка) равны 2, -2, i*(корень из 2), -i*(корень из 2). В эллипс попадают только i*(корень из 2) и -i*(корень из 2). Воспользуемся формулой
Код
res f(z)/g(z) = f(a)/g'(a)
a
пусть z^3+z^2+1 =f(z), z^4+2Z^2-8 = g(z). Тогда интеграл равен 2*pi*i*( f(i*(корень из 2))/g'(i*(корень из 2)) +
f(-i*(корень из 2))/g'(-i*(корень из 2)) ) . Осталось только посчитать.
