Дан правильный треугольник ABC. Точка К делит сторону АС в отношении 2:1, а точка М - сторону АВ в отношении 1:2 ( считая в обоих случаях от вершиныА.)Доказать, что длина отрезка КМ равна радиусу окружности, описанной около треугольника АВС.
Полная версия: Помогите решить задачу по геометрии! Срочняк!
Дан правильный треугольник ABC. Точка К делит сторону АС в отношении 2:1, а точка М - сторону АВ в отношении 1:2 ( считая в обоих случаях от вершиныА.)Доказать, что длина отрезка КМ равна радиусу окружности, описанной около треугольника АВС.
Все просто.
Проведи медиану CD из угла C. Легко видеть, что AM:MD=2:1=AK:KC. Из этого следует, что CD||KM, и треугольники AMK и ADC подобны. Тогда DC:MK=3:2, или MK=2/3*DC. Но центр описанной окружности (ЦОО) в правильном треугольнике совпадает с точкой пересечения медиан, которая, как известно, делит медианы в отношении 2:1. Таким образом, расстояние от ЦОО до вершины (оно же - радиус ОО) тоже равно 2/3*CD. Значит, MK=Rоо
Проведи медиану CD из угла C. Легко видеть, что AM:MD=2:1=AK:KC. Из этого следует, что CD||KM, и треугольники AMK и ADC подобны. Тогда DC:MK=3:2, или MK=2/3*DC. Но центр описанной окружности (ЦОО) в правильном треугольнике совпадает с точкой пересечения медиан, которая, как известно, делит медианы в отношении 2:1. Таким образом, расстояние от ЦОО до вершины (оно же - радиус ОО) тоже равно 2/3*CD. Значит, MK=Rоо
не информативный заголовок. закрыто.
Это текстовая версия — только основной контент. Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, нажмите сюда.