Объясните, пожалуйста, как интегрируются выражения вида (картинка в файле). Там не очень понятно написано

Gerc, может быть тебе станет понятнее, если ты распишешь (fi)штрих как d(fi)/dt
Тогда dt сократятся, а d(fi), если посмотреть, и есть dx
Если все еще не понятно, пиши.

интергрирование выражений такого вида производят следующим образом:
1. переходят к рациональной функции, заменяя всю эту бяку (дробь в степени) на t^s (где s-НОК знаменателей степеней, если их несколько)
2. выражаем через t х и dх
3. подставляем все, что получили, в исходный интеграл

Дык..
ты просто словами сказала, что на кртинке
Думаешь, от этого человеку стало понятнее?

думаю да...
на картинке как-то запутано....

Так-с, ну давайте начнем по порядку. Метод интегрирования подстановкой заключается в том, что интрегрируемая функция представляется в виде "интеграл от"[f(g(x))*g`(x)]dx= F(g(x)) + C (t=g(x), "интеграл от"[f(t)]dt=F(t)+C

Вот например при интегрировании такого выражения сразу понятно что и где: "интеграл от"tgxdx="интеграл от"(sinx/cosx)dx="интеграл от"(-cos`x/cosx)dx=-ln(cosx)+C - здесь ясно, что g(x)=cosx и f(t)=1/t

На картинке же предлагается несколько иной метод. Для простоты рассмотрю его на таком примере: пусть нам нужно найти "интеграл от"[(X)^(1/2)] Тогда введем новую переменную t=X^(1/2) => x=(t)^2 => "интеграл от"[(X)^(1/2)]dx="интеграл от"t*d(t)^2="интеграл от"2(t)^2=(2/3)*t^3=(2/3)*x^(3/2)

Объясните, где в этом примере функции g(X), f(t) и f(g(x))? Как решился этот пример?

именно так, как я написала (см. выше)

g(x) это "пси"(t)
f(g(x)) это R("пси"(t), t)
f(t) используется только для поиска первообразной Функции f, t - это просто обозначение переменной, вместо t мы могли бы поставить любую другую букву.

Мне это запись не понятна. Что такое R? И где там "пси"?
Плииз!!!!!, напишите, именно для этого примера где в этом примере функции g(X), f(t) и f(g(x))?: (если при его решении использовался прием подстановки

Цитирую еще раз: пусть нам нужно найти "интеграл от"[(X)^(1/2)] Тогда введем новую переменную t=X^(1/2) => x=(t)^2 => "интеграл от"[(X)^(1/2)]dx="интеграл от"t*d(t)^2="интеграл от"2(t)^2=(2/3)*t^3=(2/3)*x^(3/2)

Ты выбрал слишком простой пример. В нем функция R зависит только от второго своего параметра: R(корень(х)). Зависимости от X (как первого параметра) в ней нету (смотри изначальную картинку). Таким образом, функция "фи" нужна только для вычисления ее производной, которая входит как множитель перед dt.
Далее, зависимость от корня в R чрезвычайно проста - просто равна ему.
Но и это еще не все - в твоем примере еще и подкоренное выражение максимально простое. Поэтому
t = омега(х) = корень(х), (это вторая строчка с картинки)
и
t^2 = x (смотри первую формулу в третьей строчке на картинке), то есть альфа=1, бета=0, гамма=0 и дельта=1 (я просто подобрал параметры, при которых (альфа*х+бета)/(гамма*х+дельта)=х ).
В этом случае функция
фи = t^2 (это вторая формула в третьей строчке), тут я уже подставил наши значения альфа, бета, гамма и дельта и получил выражение для фи.
И интеграл принимает вид:
Инт.от (t * 2t )dt
Здесь первый сомножитель в скобках есть R(t), который получается просто t
Второй - это производная функции фи по t.

Не знаю, стало ли тебе ясно. Я, вроде, все разжевал - глотай.
Но лучше выбери пример чуть сложнее. Нельзя же все сводить к тривиальному случаю - суть выхолащивается..

чёрт, точно, перепутал "пси" и "фи

Фух! Похоже я не вовсем объяснил, что я именно не понимаю. Буду писать подробно, чтобы было понятней, надеюсь хватит терпения дочитать до конца.

Ну, вообще то я пытаюсь понять, не что нужно сделать, чтобы синтергировать ту или иную функцию, а прежде всего, суть самого метода интегрирования таких выражений, т.е. его обоснование, откуда что взялось, на чем это основано, т.е. должно плавно вытекать из предыдущих методов интегрирования. Но эта тема (не только на картинке, но и в учебнике) совсем не плавно вытекает из предыдущего (как будто страницу вырвали). Странно, но многие темы, доказательства теорем матана я осваивал сам без взяких проблем по учебнику (когда приходилось пропускать пары). Но с такой бякой я еще не встречался.

Ну во первых, такую запись "интеграл от"R(x,корень степени m из (ax+b)/(гамма*у+дельта)) я лично вижу первый раз. Не в школе, не в ВУЗЕ я ее не встречал. Где-то пишут, что это рациональная функция от 2-х аргументов. Но у нас функция от одного аргумента, от Х!
Такой простой пример я взял, чтобы также понять суть этого метода, заглянув с другого угла, чтобы разобраться, каким образом функция синтегрировалась, т.е. вроде ответ правильный, но на каком основании были сделаны эти действия? Ну скажем так, пусть я еще не знаю метода интегрирования выражений, содержащих радикалы, а изучил все до этого, в том числе и метод подстановки. Тогда нам нужно прежде всего определиться, что у нас будет f(t), что t=g(x) и что тогда f(g(x)) (см. определение метода подстановки выше). Судя по тому решению, я сделал вывод, что f(t)=t^2, t=g(x)=корень из (x), f(g(x))=(корень из (х))^2. Если посмотреть, что делается дальше, то можно сказать, что метод подстановки используется неправильно, т.к. по правилу нужно дифференцировать g(x) и умножать на f(g(x)), а в моем простом примере делается наоборот.
И так вопрос: Можно ли интегрировать мой простой пример методом подстановки, если нет, то на основе каких теорем, свойств и т.д это делалось?

Можно взять и более сложный пример: "интеграл от"(х+1/х-1)^(1/3). Повторю еще раз, мне главное выяснить теорию, обоснование на основе теорем, свойств, ранее использованных методов.

Итак, ответ:
Это есть метод подстановки в его чистейшем и первозданном виде. Он дествительно немного осложнен наличием двухпараметрической функции R, но в целом все равно то же самое.
Начнем с R. Эта буква (забудь про всякие заумные функции - просто обозначение в виде буквы) означает, что под интегралом у тебя стоит некое выражение, которое вообще-то зависит от Х и только от Х, но тем не менее, зависимость эта такова, что либо сам Х стоит в некоторой степени и с некоторыми множителями в числителе или знаменателе (рациональная функция - это частное от деления двух многочленов), либо то выражение, корень из (ax+b)/(cx+d), (здесь я заменил греческие буквы на латынь) стоит в аналогичном виде. "Либо" здесь не исключающее, и в общем случае они оба там стоят . Короче, зависимость, в конечном счете только от Х, но вот такая хитрая, когда можно выделить либо сам Х там, либо вот такой корешок еще, встречающийся в разных местах и сам по себе еще и в разной степени.. Наворочено, ничего не скажешь, но все же корень такой, если уж он встретился в одном месте, должен быть во всех остальных местах только одного вида - с теми же a, b, c и d, а также с той же степенью корня. Ну, с этим ясно? Никакой мистики, как видишь, нет, просто обозначения такие.

Идем дальше. Теперь про подстановки. Эх, жалко, тут писать трудно формулы с интегралами.. Давай, я буду обозначать интеграл большой латинской S, только жирной: S
Все предельно просто. Ты вправе проводить замену перемнной в подынтегральном выражении, но только соблюдай два правила:
1. правильно расставляй пределы интегрирования;
2. преобразуй dx.

Если ты вводишь новую переменную (скажем, t), то должна быть связь между ней и твоей исходной переменной, х. Я не буду вводить дополнительных названий или букв, назову все своими именами:
x=x(t)
Если ты искал интеграл от функии f(x)
Sf(x)dx
то теперь получаем:
Sf(x(t))dx
Все классно, но только если дифференциал dx раньше был независимым, то теперь x зависит от t. Как связаны дифференциалы между собой, мы знаем еще из науки про производные (пишу для абстрактной функции f(x) ):
df = f'dx
где f' - это производная функции f по х. Ее, как мы знаем, можно записать и в другом виде, а именно
f'=df/dx
Такая запись - это всего лишь запись, но она удобна, поскольку в некоторых случаях дифференциалы можно действительно рассматривать как обычные сомножители, перемножать их и сокращать. Если записать производную в этом виде, то получим:
df = (df/dx)*dx
Из этой формулы ясно видна суть: сократив dx в правой части, получаем тождество, то есть как бы доказываем эту формулу. Но это лирика .

Итак, в нашем случае мы имеем зависимость x(t), и соответственно
dx = x'dt
либо
dx = (dx/dt)*dt
Это выражение (любое из них, поскольку это просто разная запись одного и того же), подставляем в наш интеграл:
Sf(x(t))*x'dt
или
Sf(x(t))*(dx/dt)dt
В последней записи особенно явно видны все метаморфозы, которые произошли с нашим интегралом: та же самая f, только с заменой переменной, и тот же самый dx, только мы его домножили и поделили на dt

Вот, собственно, и все. Извини, если мои обозначения отличались от тех, что вам давали. Я старался донести до тебя суть, и если ты ее поймешь - никакие хитрые обозначения тебя не введут в заблуждение . Если ты проследишь внимательно, то увидишь, что именно в соответствии с этим методом поступается в той записи на твоей картинке..
Вникай.


PS
В моем первом ответе тебе я сказал все то же самое, только кратко..