Такая вот задача,
В текстовом файле хранятся фамилии студентов группы (в каждой строке файла записана одна фамилия). Необходимо прочитать данный файл, отсортировать фамилии по алфавиту и записать в новый текстовый файл. Программа должна быть выполнена без применения массивов.
НИчего подобного не нашел, везде только с массивами...

Ну нельзя массивами, пользуйся списками.
Нельзя списками, используй промежуточный файл типизированный (of string) и в нем сортируй (внешняя сортировка)
Наконец, эмулируй работу с текстовым файлом как с типизированным, и применив прямо к нему сортировку (правда будет очень медленно) отсортируешь прямо его.

Итого 3 способа - выбирай любой. Я бы использовал дополнительный файл типизированный.