Помогите решить задачу по геометрии, 7 кл. о сумме углов в треугольнике Опции

[Лена]

В равнобедренном треугольнике АВС угол В=100 градусам. Внутри треугольника взята точка М так, сто угол МАВ =10 градусам, а угол МВА=20 градусам. Найти угол ВМС.
Спасите!!! Вот уже 6-ой час не можем решить задачу всей семьей:

[Altair]

Что за бред?
смотри рисунок....

Если Bесть, то MBC= B-MBA = 100-20=80/
или чтоя непонял?

[лена]

А можно поподробнее для нашей учительницы.

[лена]

Да наверно ты не понял нужно найти угол ВМС а то что угол МВС равен 80 это козе понятно...

[Altair]

ТОже просто.
MBC=80, так?
MAB=10


BMC=ACB-MCB,
a MCB = MAB=10.

анйти MCB легко.
(180-100)/2 .... это из свойст равнобедренного треугольника

[Altair]

да ипотом вся ясно, верно?
сумма 180, MBC сзнаем и все моно найти

[лена]

Все равно не получается если мы знаем что АВС=100 внутри треугольника взята точка М, так что МАВ=10 а МВА=20 и если построить по размерам то угол ВМС нерасчетный получается =80 так вот надо его правильно рассчитать. нарисуй правильно чертеж.

[лена]

Олег ну что поможешь????

[Лена]

Все жду помощи, параллельно листаю сборники задач. Нашла именно эту задачу, наз-ся Задачи Лоповок, но решения нет!!! Поможите мне!!!

[volvo]

Лена, можно я попробую вместо Олега? Ты будешь смеяться, но угол BMC действительно = 80 ...

[лена]

Я не смеюсь, т.к. этот несчастный угол я измерила транспортиром и убедилась, что он равен 80, а вся комната уже завалена толстым слоем изодранных черновиков. Также мне не смешно, т.к. не могу доказать, что СМ-биссектриса угла ВСА, тогда бы свершилось бы чудо... И я бы нашла величину искомого угла.
Буду очень признательна за помощь, Volvo

[volvo]

Вот так это решается (может быть можно конечно и по-другому, но у меня не вышло):
Допустим, что AB = a ; тогда из тр-ка ABM по теореме синусов: sin 150/a = sin 10/BM ...
и BM = a * sin 10 / sin 150

Примем за x тот угол, который нам нужно найти (угол BMC)... Тогда из тр-ка BMC по той же теореме синусов следует, что: sin(100-x)/BM = sin x/BC
Но ведь BC = AB = a, тогда предыдущая формула запишется как: a * sin(100-x) = BM * sin x

подставляем сюда BM, полученное в первой формуле:
a * sin(100-x) = a * sin 10 * sin x / sin 150

a сокращается, остается: sin(90 + (10-x)) = 2 * sin x * sin 10
(сначала я немного преобразовал (100 - x) к (90 + (10 - x)), потом поймешь зачем,
а во второй части: sin 150 = 0.5, так вместо того чтобы делить на 0.5, я умножу на 2, тоже потом расскажу зачем ;) )

идем дальше...
sin(90 + z) = cos z, так и запишем:
cos(10 - x) = 2 * sin 10 * sin x

теперь раскрываем косинус суммы по формуле:
cos 10 * cos x + sin 10 * sin x = 2 * sin 10 * sin x

переносим правую часть влево и приводим подобные:
cos 10 * cos x - sin 10 * sin x = 0

но ведь это как раз формула косинуса суммы !!!
cos(10 + x) = 0,
откуда: 10 + х = 90
и соответственно х = 80

[Лена]

Ещё этот несчастный угол можно н-ти, если доказать, что Треуг-к ВСМ-равнобедренный, но это, к сожалению, тоже не получается.

[Лена]

В 7 классе общеобразовательной школы теоремы синусов мы еще не знаем. Но все равно огромное СПАСИБО!!! Если будут идеи - кидайте! Мы знаем сумму углов треугольника, свойства равнобедренного треугольника и равенство треугольников. Пока все.

[volvo]

Лена, я просто давно закончил 7-ой класс, и уже не помню, что мы учили, а что нет в то время Я попробую еще один способ (я начинал решать с его помощью, но не довел до конца)...

[Лена]

Если честно, то дочь, примерно с полчаса назад пристроилась в кресле со справочником по математике, тетрадкой и ручкой и уснула, но что-то бормочет сквозь сон, наверное, все решает... Мне просто жаль её, сама была такой же, поэтому и сижу. Ведь завтра утром (ой! уже более 4 часов как сегодня) если не решит, то будет трагедия. Ей вставать уже через 3 часа... Честно говоря, идея про ВМС-равнобедренный - её. Спасибо, что помогаете.

[Лена]

Я проснулась, но во сне решение не пришло. Взрослые не выдержали, уснули. В сборнике задач Лоповок эта задача стоит в разделе "Сумма углов треугольника" для 7 класса, но почему-то я никак не могу найти этот угол ВМС. Про теорему синусов я поняла немного, но не всё. Если я принесу это решение, то сразу поймут, что за меня всё решили. Мне бы хоть какую-нибудь наводку по решению.

[Лена]

Как же ты всё-таки решаешься, задача?

[Лена]

Короче, училка сказала, что эта задачка решается через сумму углов треугольника. Наверное, все 25 человек в нашем классе тупые, т.к. не смогли решить эту задачу. Орала она громко и продолжительно!!!



А этот дядька Лоповок наверное очень умный и жестокий был. Он не любил детей ТОЧНО!!!

Люди добрые, объясните мне, как ее решить. Я все делила и делила на маленькие треугольнички, но так и не нашла этот угол ВМС.

:fire: :fire:

[Atos]

Массаракш! Какая-то заколдованная задача :fire: Думал, решу через систему, выражая одни углы через другие, но в итоге пришёл к тождеству