Счетность, континуум, биекция, задачи на множества Опции

[Кошка]

Помогите, плиз, решить задачи по доп. главам анализа
1. Док-ть, что кол-во всех пятёрок, которые можно нарисовать на плоскости (непересекающихся, разных размеров), - множество мощности континуума, а множество всех восьмёрок(непересекающихся) не более чем счётно
2. Док-ть, что множество всех непересекающихся следов(множеств трёх отрезков из одной точки) не более чем счётно
3. Пусть r1=1, r2n=rn +1, r(2n+1)=1/r2n, функция f из n в rn – биекция. Доказать, что функция f является биекцией из множества натуральных в множество рациональных чисел.

[andriano]

0. Насколько мне известно, настоятельно рекомендуется задавать новые вопросы в новых темах.
1. Свести к любому одномерному случаю: множество прямых, проходящих через одну точку либо параллельных прямых, проходящих через отрезок, после чего воспроизвести одномерное доказательство либо просто сослаться на него.
2. Нет.

[Lapp]

М

Гость, пожалуйста, зарегистрируйся и создавай свои собственные темы.

1. Свести к любому одномерному случаю: множество прямых, проходящих через одну точку либо параллельных прямых, проходящих через отрезок, после чего воспроизвести одномерное доказательство либо просто сослаться на него.

А как сводить? Это еще вопрос..
Все проще, мне кажется. Прямая задается уравнением ax+by=0. Числа a и b - действительные. Их можно интерперетировать как координаты в двумерном пространстве, а количество точек в нем - континуум.
[приведенное решение не совсем верное, см. исправление в посте #37]

2. Нет.

andriano необычно для него краток )).
Если речь идет о выпуклых шестиугольниках, то все совсем просто. Как известно, если выпуклый многоугольник А вложен в выпуклый многоугольник В, то периметр А меньше периметра В (доказательство могу привести). Тут же все периметры равны - следовательно, вложенности быть не должно. Далее, при ненулевой площади всегда можно найти внутри фигуры точку с рациональными координатами. Ставим эту точку в соответствие шестиугольнику - и все пересчитано.

Сообщение отредактировано: Lapp - 9.01.2010 5:20