Вычисление относительной погрешности для функции. Опции

[Krjuger]

В общем это некое продолжение моей прошлой темы,только обрастающее новыми подробностями.
У меня дана функция x(exp^x-1).Я эту функцию раскладываю я ряд Тейлора и получаю сумма от 1 до N от xⁿ⁺¹/n!.
Чтобы найти относительную погрешность мне надо а -n ый член разделить на сумму ряда,все это по модулю.Ну в общем то ,я думаю, вы и так понимаете как это делать.Суть заключается в том,у меня опять есть ограниченная разрядность мантисы и мне надо посмотреть как она будет влиять на результат.И как будет меняться N при которых мы будем выходить за граници возможностей нашей машины.

Я немного абстрагировался от этой задачи.что я сделал, при помощи маткада я посчитал,при каком N будет достигаться относительная погрешность на грани машинного эпсилон 10^-16,это N =24.Да забыл сказать,что точка в которой мы раскладываем ряд у меня дана.Это -2.3.Затем я высчитал значение этой погрешности она составила 8.602898672363349*10^-16.Дальше я посомтрел как оно себя будет вести при разрядах мантисы от 10 до 25,при фиксированных исходных данных.Для рязрядности с 10 до 16 я получил ожидаемый результат,но дальше начало твориться что то вообще непонятное.Ну или точнее я не могу понять, как это интерпретировать.
Файл с самой программой тоже прикрепляю.

[volvo]

Что-то тема заскучала... Давай сделаем вброс небольшой.

1)

что я сделал, при помощи маткада я посчитал,при каком N будет достигаться относительная погрешность на грани машинного эпсилон 10^-16,это N =24.

Неверно. Надо проверять не на грани машинного эпсилон, а на грани эпсилон для твоего типа, мантисса которого содержит ограниченное число разрядов. Для m = 5 и m = 11 это будут разные значения, и нет смысла вычислять с точностью 10^-16, если m = 5. Максимальная точность - только для максимальных длин мантиссы, и то не в типе float, а в long double. Соответственно, вычислять надо не N первых членов ряда, а пока очередной член не будет меньше Epsilon для типа.

2)

Дальше я посомтрел как оно себя будет вести при разрядах мантисы от 10 до 25,при фиксированных исходных данных.

На всех значениях от 10 до 25 посмотреть не могу, а вот для M = 5, M = 8 и M = 11 - проверил. Извиняй, в Сях нет соответствующих средств, поэтому проверил там, где есть:

with Ada.Text_IO; use Ada.Text_IO;

procedure Main is

   generic
      type Float_Type is digits <>;
   procedure Check(X : Float_Type);
   
   procedure Check(X : Float_Type) is
      s, nom, nxt, last : Float_Type;
      n, denom : Long_Long_Integer := 1;
   begin
      Ada.Text_IO.Put_Line ("Mantissa : " & Integer'Image (Float_Type'Mantissa));
      Ada.Text_IO.Put_Line ("Epsilon  : " & Float'Image (Float_Type'Epsilon));
      
      s := 0.0;
      nom := X * X;
      loop
         nxt := nom / Float_Type (denom);
         Ada.Text_IO.Put_Line ("nxt = " & Float_Type'Image(nxt) & 
                               " n! = " & Long_Long_Integer'Image(denom));
         exit when abs(nxt) < Float_Type'Epsilon;
         s := s + nxt;
         nom := nom * X;
         n := n + 1;
         denom := denom * n;
         last := nxt;
      end loop;
      Ada.Text_IO.Put_Line ("Last item : " & Float_Type'Image(last));
      Ada.Text_IO.Put_Line ("S : " & Float_Type'Image(s));
      Ada.Text_IO.Put_Line ("N : " & Long_Long_Integer'Image(n));
      
      Ada.Text_IO.Put_Line ("Relative error : " & 
                            Float'Image( abs(Float(last) / Float(s)) ));
      Ada.Text_IO.New_Line;
   end Check;
   
   type MyFloat_05 is new Float digits 1;
   procedure Check_05 is new Check(MyFloat_05);
   
   type MyFloat_08 is new Float digits 2;
   procedure Check_08 is new Check(MyFloat_08);
   
   type MyFloat_11 is new Float digits 3;
   procedure Check_11 is new Check(MyFloat_11);
     

begin
   Check_05 (X => -2.3);
   Check_08 (X => -2.3);
   Check_11 (X => -2.3);
end Main;

Результат:

Mantissa :  5
Epsilon  :  6.25000E-02
nxt =  5.3E+00 n! =  1
nxt = -6.1E+00 n! =  2
nxt =  4.7E+00 n! =  6
nxt = -2.7E+00 n! =  24
nxt =  1.2E+00 n! =  120
nxt = -4.7E-01 n! =  720
nxt =  1.6E-01 n! =  5040
nxt = -4.5E-02 n! =  40320
Last item :  1.6E-01
S :  2.1E+00
N :  8
Relative error :  7.38203E-02

Mantissa :  8
Epsilon  :  7.81250E-03
nxt =  5.3E+00 n! =  1
nxt = -6.1E+00 n! =  2
nxt =  4.7E+00 n! =  6
nxt = -2.7E+00 n! =  24
nxt =  1.2E+00 n! =  120
nxt = -4.7E-01 n! =  720
nxt =  1.6E-01 n! =  5040
nxt = -4.5E-02 n! =  40320
nxt =  1.1E-02 n! =  362880
nxt = -2.6E-03 n! =  3628800
Last item :  1.1E-02
S :  2.1E+00
N :  10
Relative error :  5.51081E-03

Mantissa :  11
Epsilon  :  9.76563E-04
nxt =  5.29E+00 n! =  1
nxt = -6.08E+00 n! =  2
nxt =  4.66E+00 n! =  6
nxt = -2.68E+00 n! =  24
nxt =  1.23E+00 n! =  120
nxt = -4.73E-01 n! =  720
nxt =  1.55E-01 n! =  5040
nxt = -4.47E-02 n! =  40320
nxt =  1.14E-02 n! =  362880
nxt = -2.63E-03 n! =  3628800
nxt =  5.49E-04 n! =  39916800
Last item : -2.63E-03
S :  2.07E+00
N :  11
Relative error :  1.26910E-03

[2011-04-15 12:00:33] process terminated successfully (elapsed time: 00.23s)

Могу проверить еще и для остальных (M = 15, 18, 21, ...), если надо.