Помогите решить задачу по геометрии, 7 кл. о сумме углов в треугольнике Опции

[Лена]

В равнобедренном треугольнике АВС угол В=100 градусам. Внутри треугольника взята точка М так, сто угол МАВ =10 градусам, а угол МВА=20 градусам. Найти угол ВМС.
Спасите!!! Вот уже 6-ой час не можем решить задачу всей семьей:

[Lapp]

День добрый, Лена и Ко!
Не сердитесь, что я вынимаю на свет Божий дела давно минувших дней..
Я совершенно случайно набрел на этот тред, и меня заинтересовала задача. После получаса размышлений над ней за чашкой кофе я просто полюбил ее. Лена, не судите строго ее автора - он явно незаурядный человек, и спасибо ему за удовольствие подумать.
Задача из тех, где нужно искать не общие принципы, а совпадения частных параметров. Как только это поймешь, все становится на свои места. Достаточно лишь привлечь побольше данных - в данном случае провести пару лишних линий (которые напрашиваются) и вычислить несколько углов. Потом все это сопоставить. И _очень_важно_ сделать _хороший_ чертеж! Я не пожалел усилий, хотя неточности могут быть, ибо транспортира под рукой не оказалось. Но это не важно - чертеж должен быть не идеальным а _достаточно_ хорошим. Итак, решение (кратко).

Опустим высоту из В. Продолжим АМ до пересечения с ней (т. О). Угол ВМО вычисляем, как внешний в тр.АВМ, он равен 30. Угол МВО равен разности половины угла АВС и угла АВМ - получаем тоже 30. Следовательно, тр. ВОМ - равнобедренный. Теперь проводим отрезок СК через точку О. Тр.АОС - равнобедренный. Следовательно, угол ОСА = ОАС, а последний легко вычисляется из начальных данных и равен 30. Т.о. угол КВО = DCO, ибо оба по 30, и у нас есть два равных угла в треугольниках КВО и DCO. Заметим теперь вертикальные углы КОВ и DOC и сделаем вывод, что вышеупомянутые треугольники подобны. Но тогда угол ВКО - прямой (ибо равен углу CDO), и отрезок ОК является высотой в равнобедренном тр.ВОМ и, следовательно, серединным перпендикуляром к ВМ. Но точка С лежит на его продолжении, и следовательно ВС=МС. Вот мы и выводим, что тр.ВСМ - равнобедренный! Далее все просто..

Может, не самая изящная задача, но у нее есть вполне определенный смысл. Смысл в том, иногда "случайные" совпадения весьма важны для решения. И если найти зацепку (в данном случае - равенство углов КВО и OCD), то жизнь становится не так и плоха..
Лена - удачи вам и новых встреч!

PS
Хороший чертеж может и навредить, если быть не очень внимательным. В нашем случае угол КВО иожно принять прямым априори, хотя этот факт нуждается в доказательстве.

Сообщение отредактировано: lapp - 3.12.2005 10:06