Системы уравнений Опции

[Dead.MorozZ]

Подскажите хотябы идею решения!!!

Решите систему уравнений:
/
| cos2y + 1/2 = (cosy - 1/2)(1 + 2sin2x)
<
| siny (tg^3(x) + ctg^3(X)) = 3ctgy
\

Найдите все значения параметра a, -П < a < П, при которых система
имеет ровно три решения
/
| (9x^2 + 9y^2 - 1)(24y + 9x^2 + 32) = 0
<
| xsin(a) - ycos(a) = 1/3
\

[Atos]

1) tg^3(x)+ctg^3(x) = (sin^6(x)+cos6^6(x))/(sin^3(x)*cos^3(x)) = (sin^2(x)+cos^2(x))(sin^4(x)-sin^2(x)*cos^2(x)+cos^4(x))/(sinx*cosx)^3 = 1*(sin^4(x)+2sin^2(x)*cos^2(x)+cos^4(x) - 3sin^2(x)*cos^2(x))/(sin(2x) / 2)^3 =((sin^2(x)+cos^2(x))^2 -3sin^2(x)*cos^2(x)) /((1/8)*sin^3(2x)) = 8*(1-3sin^2(x)*cos^2(x))) / sin^3(2x) = 8*(1-3*(sin(2x) /2)^2) / sin^3(2x) = (8-6sin^2(2x))) / sin^3(2x);

Теперь систему можно переписать в виде:
2cos^2(x)-1+1/2=(cosy-1/2)(1+2sin2x) =0
и
sin^2(x) (8-6sin^2(2x))) / sin^3(2x) = 3cosy;
далее
2cos^2(x)-1/2=(cosy-1/2)(1+2sin2x) =0
и
(1-cos^2(x)) (8-6sin^2(2x))) / sin^3(2x) = 3cosy;
замена sin2x=z, cosy=t.

2z^2=z+2tz-t
и
2(1-z^2)(4-3t^2)=3zt^3;
из первого уравнения: либо t=z, либо 2z-1=0;
а)
t=z;

2(1-t^2)(4-3t^2)=3t^4;
2(4-7t^2+3t^4)=3t^4;
8-14t^4-3t^4=0;
решаем как квадратное уравнение относительно t^2, получаем два корня: либо t^2=4, t=2, его отбрасываем, так как |t|=|cosy|<=1, либо t^2=2/3, t=плюс-минус корень из 2/3 . В этом случае получаем cosy=sin2x=плюс-минус корень из 2/3

б)
2z-1=0;
z=1/2;

2(1-1/4)(4-3t^2)=3t^3/2;
4-3t^2 = t^3;
так как |t|=|cosy|<=1, то t=1.
получили sin2x=1/2 и cosy=1.