Математическая логика, Теория множеств Опции

[Надин]

Вот и настала моя пора обратиться за помощью к высшим умам. 4 ночь без сна, а ответы на интересующие меня вопросы так и не найдены. Пожалуйста!!!!!!!!!! ПОМОГИТЕ!!!!

1.Доказать, что множество всех чисел x из (0;1), таких что сумма ряда x в степени корень из n (x^(sqrt(n))) (n от 1 до бесконечности) является рациональным чилом, счетно.

Мои мысли: у нас есть отображение чисел из интервала на подмножество рациональных чисел. Множество рациональных чисел счетно(можно легко доказать данный факт). Любое подмножество счетного множество конечно или счетно. Конечным оно быть не может, т.к. на данном интервале содержится множество рациональных чисел.
Затруднения: затруднения возникли с тем, что необходимо доказать, что у нас взаимнооднозначное отображение,т.е.биекция. Что если у нас есть х1 и х2, которые при данном отображении перейдут в одно и тоже рациональное число? Необходимо изучить (я полагаю) степенной ряд, если он окажется возрастающим то инъективность будет доказана. НО КАК ДОКАЗАТЬ ЧТО ОН ВОЗРАСТАЕТ НЕ ЗНАЮ....
ПОМОГИТЕ
2. Пусть множество Х имеет мощность континуум и S-множество всех не более чем счетных подмножеств Х. Доказать, что S имеет мощность континуум.
В данной задаче буду благодарна хотя бы за идею как решать (семенарист не одобрил не одной попытки решения этой задачи, а как решать не намекнул...)...

Спасите глупую студентку от неменуемого провала!!!

[Lapp]

Уфф... Есть решение!
Вчерашнего часа за чашкой кофе мне не хватило, но сегодняшний эспрессо помог. Вообще, непозволительно тратить на такую ерунду столько времени. Тупею..

Я долго пытался ее решить в абстрактном виде, как она дана. И только потом решил попробовать на конкретном представлении. И оказалось, что решать ничего не надо, все и так ясно. Как я мог просмотреть такую простую аналогию?? Кошмар..

Итак, у нас есть оценка снизу - мощность не меньше континуума. Попробуем получить оценку сверху.
Для начала установим биекцию между исходным множеством Х и отрезком действительных чисел [0,1] - сие возможно, так как они равномощны. Теперь возьмем произвольный элемент множества S - то есть любое счетное или конечное подмножество множества Х. В соответствии с установленной биекцией оно отображается в счетное (или конечное) множество действительных чисел на [0,1]. Поскольку это множество счетно (или конечно), существует способ его занумеровать. Занумерованное множество чисел суть последовательность. Таким образом, элементы множества S отображаются в последовательности (конечные или бесконечные). Но соответствие не однозначное, так как две последовательности из одинаковых чисел, расположенных по-разному (например, (1, 2) и (2, 1) ), соответствуют одному элементу S (в данному случае множеству из чисел 1 и 2). Таким образом, множество всех последовательностей действительных чисел включает образ множества S как подмножество. Теперь если мы докажем, что множество всех последовательностей действительных чисел имеет мощность континуума, то мы получим оценку сверху для нашего S.

Рассмотрим произвольную последовательность действительных чисел:
{a, b, c, d, e, ...}
Каждое из этих чисел представим десятичной записью:
a = 0, a1 a2 a3 a4 a5 ...
b = 0, b1 b2 b3 b4 b5 ...
c = 0, c1 c2 c3 c4 c5 ...
d = 0, d1 d2 d3 d4 d5 ...
e = 0, e1 e2 e3 e4 e5 ...
...
Здесь каждая буква с индексом - это цифра от 0 до 9, между ними нету пробелов (я поставил для читабельности), это цифры одного числа. В начале идет ноль с запятой, так как все они меньше единицы. Теперь образуем новое число z по следующему правилу:

Код

0,-a1-a2 a3-a4 a5- ...
     /  /  /  /  /
0, b1 b2 b3 b4 b5 ...
   | /  /  /  /  /
0, c1 c2 c3 c4 c5 ...
     /  /  /  /  /
0, d1 d2 d3 d4 d5 ...
   | /  /  /  /  /
0, e1 e2 e3 e4 e5 ...
     /  /  /  /  /

Тут черточки (это не минусы!) показывают порядок, в котором берутся цифры:

z = 0, a1 a2 b1 c1 b2 a3 a4 b3 c2 d1 e1 d2 c3 b4 a5 a6 b5 c4 d3 ...

- то есть мы обходим всю таблицу нашей последовательности по такому серпантину, змейкой.
Легко понять, что образованное таким способом число z является уникальным для каждой последовательности. Более того, имея его запись, можно восстановить исходную последовательность, записывая его последовательные цифры в таблицу змейкой.

Тем самым мы получили взаимно-однозначное соответствие между множеством всех последовательностей действительных чисел на [0,1] (назовем его А) и самим множеством действительных чисел на [0,1]. Это доказывает, что множество А имеет мощность континуума.

Наше множество S отображается в подмножество множества А, а значит его мощность не превосходит мощности А, кояя есть континуум. Ранее мы получили оценку снизу, тоже равную континууму. Таким образом, множество S имеет мощность континуума.

Вот такие дела.. Извини за задержку!