уравнения из ЕГЭ Опции

[zZz]

готовлюсь к ЕГЭ... парочку номеров так и не смог пока что решить,...

abs(sin(x)-cos(x))=cos(2x)

3((x+3)^0.5-1)((2-x)^0.5+1)=2x+4

второе вообще подбором решается, но как-то не совсем такой метод доказывает единсвенность решения; если рисовать графики, то все доказывается, но это долго, может существует рациональный способ?

[kuzya]

готовлюсь к ЕГЭ... парочку номеров так и не смог пока что решить,...

второе вообще подбором решается, но как-то не совсем такой метод доказывает единсвенность решения; если рисовать графики, то все доказывается, но это долго, может существует рациональный способ?

Эх вы, немного над задачей подумать не можете, а ещё..., да ладно, обидятся...
-------------№1:----------------
abs(sin(x)-cos(x))=cos(2x)

как же я раньше этого не заметил

-и я о том же)))
abs(cos(x)-sin(x))=cos(2x)
* раскрываем по условиям модуля:
2x принадлежит [-pi/2+2pi*n;pi/2+2pi*n], т.е.
x принадлежит промежутку [-pi/4 + pi*n; pi/4+pi*n].
далее:
cos(x)-sin(x)=sqr(cos(x))-sqr(sin(x)) и далее по формуле разности квадратов разлаживаем правую часть:
cos(x)-sin(x)=(cos(x)-sin(x))(cos(x)+sin(x)) сокращаем с условием
** что cos(x)-sin(x) может равнятся нулю, т.е.
cos(x)=sin(x)
tg(x)=1
x=pi/4+pi*n
далее:
cos(x)+sin(x)=1 возводим все в квадрат и представляем 1 как основное триг. тож-во
и наконец мы можем спокойно дорешать уравнение 2*cos(x)*sin(x)=0, не забывая условие модуля(*) и потерянный корень(**)
Надеюсь, дальше не будет сложностей



----------№2:-------------

второе вообще подбором решается, но как-то не совсем такой метод доказывает единсвенность решения

почему же это не совем такой способ, если знаешь как доказать единственность-флаг тебе в руки , а я решал так:
3(sqrt(x+3)-1)(sqrt(2-x)+1)=2x+4
Похоже, что вообще аналитически это уравнение нельзя решить, по крайней мере я не смог решить ни одним известным мне анал.способом это иррациональное ур-е, не знаю, мож в следующем классе ума наберусь
Попробовал заменой sqrt(2-x)y, т.е. x=2-y^2, но это потом...
1) перемножаем всю левую часть, нафиг
2) вводим замену, выделяем общие множители.. в итоге у нас получается:
3*sqrt(5-y^2)*(y+1)=11-2*sqr(y)
Потом представляем как:
sqrt(5-y^2)=(-2*y^2+3y+11)/(3y+3)
3) Решаем графическим способом:...

Сообщение отредактировано: kuzya - 1.06.2006 7:56