странная функция Опции

[Reflex]

Препод задал вопрос, а существует ли функция, которая везде непрерывна и нигде не монотонна? помогите ответить

Сообщение отредактировано: Reflex - 12.12.2006 5:34

[Michael_Rybak]

Мда... с длиной это, конечно, интересно

Ну, по крайней мере, можно посмотреть, что там с ломаными получается, предел какой-никакой записать. Или хоть вычислить первых 10 шагов, и посмотреть...

Еще у меня такой вопрос: можно ли говорить, что если график непрерывной функции f(x) на промежутке [0; 1] имеет длину t, то график функции g(x) = f(x / 10) на промежутке [0; 10] имеет длину 10t ? Глупость, а вдруг правильно? Если правильно, то сразу выходит, что длина не может быть конечной.

По-любому красивая молния

[Lapp]

> Глупость, а вдруг правильно?
Нет, не правильно.
Рассмотри почти вертикальный график y=10x на [0,1] (его длина чуть больше 10, а потом растяни его на 10 и получишь длину 14.142
..
> Если правильно, то сразу выходит, что длина не может быть конечной.
Но длина не конечная, верно. Просто мне почему-то хотелось этого

> По-любому красивая молния
Спасибо!

Добавлено немного позже:
> я бы тоже по-участвовал, но знаний не хватает:
Для представления функции не нужно особых знаний.
Я сейчас положу тут программку, которая рисует последовательность по шагам. На ней все и поймешь.

> Скорее очертание горы напоминает.
Во-первых, она обязательно снизу доверху, а гора все же имеет один пик.
Во-вторых, образующий зигзаг явно напоминает стилизованное изображение молнии . В этой проге все видно.. Управление - клавиши + и - , выход - Esc. Для управления нужно перейти в окно задачи..

uses
  CRT,Graph;

function Lightning(x,s:real):real;
var
  a,b,Fa,Fb,d,dF:real;
  {n:integer;}

begin
  a:=0;
  b:=3;
  Fa:=0;
  Fb:=3;
 { n:=0;}
  repeat
    d:=(b-a)/3;
    dF:=(Fb-Fa)/3;
    if x<a+d then begin
      b:=a+d;
      Fb:=Fa+dF*2
    end
    else if x<a+d+d then begin
      b:=a+2*d;
      a:=a+d;
      Fb:=Fa+dF;
      Fa:=Fa+2*dF;
    end
    else begin
      a:=a+2*d;
      Fa:=Fa+dF
    end;
   { Inc(n)}
  until Abs(dF)<s;
  Lightning:=(Fa+Fb)/2;
  {WriteLn('n:',n,'   a=',a:10:8,'   b=',b:10:8,'   Fa=',Fa:10:8,'   Fb=',Fb:10:8)}
end;

var
  GrDr,GrMo,iMax,jMax:integer;
  x,dx,y,dy:real;
  c:char;

begin
  GrDr:=0;
  GrMo:=0;
  InitGraph(GrDr,GrMo,'');
  iMax:=GetMaxY;
  jMax:=GetMaxY;
  SetColor(DarkGray);
  x:=0;
  dx:=0.2;
  while x<=3.0001 do begin
    Line(Round(x/3*iMax),0,Round(x/3*iMax),jMax);
    x:=x+dx
  end;
  y:=0;
  dy:=0.2;
  while y<=3.0001 do begin
    Line(0,Round(y/3*jMax),iMax,Round(y/3*jMax));
    y:=y+dy
  end;
  {x:=0;
  dx:=0.0001;
  while x<=3.0001 do begin
    PutPixel(Round(x/3*iMax),jMax-Round(Lightning(x,0.000001)/3*jMax),LightCyan);
    x:=x+dx
  end;}
  dx:=3;
  c:='+';
  repeat
    x:=dx;
    SetColor(Black);
    MoveTo(0,jMax);
    while x<=3.0001 do begin
      LineTo(Round(x/3*iMax),jMax-Round(Lightning(x,0.000001)/3*jMax));
      x:=x+dx
    end;
    case c of
      '+': dx:=dx/3;
      '-': begin
        if dx<=1/3 then dx:=dx*3;
        if dx>0.5 then dx:=1
      end
    end;
    x:=dx;
    SetColor(LightCyan);
    MoveTo(0,jMax);
    while x<=3.0001 do begin
      LineTo(Round(x/3*iMax),jMax-Round(Lightning(x,0.000001)/3*jMax));
      x:=x+dx
    end;
    repeat
      c:=ReadKey
    until c in['+','-',#27];
  until c=#27;
  CloseGraph
end.

Сообщение отредактировано: Lapp - 14.12.2006 7:12

[Lapp]

Насчет длины. Нестрогое рассуждение, но, по-моему, верное.

По мере увеличения числа шагов угол наклона отрезков к оси Х увеличивается. Правда, остаются и куски с малым наклоном (и даже один с наклоном единица, в центреЮ а также два с наклоном 2, ...), но их мало. Когда подавляющее число отрезков станет практически вертикальными, то на каждом шагу их длина будет умножаться на 5/3. Вот поясняющий рисунок:

 |         |
 |   =>  |\|
 |       |

Длина добавившейся части равна 2/3.

Таским образом, длина явно бесконечна

[Michael_Rybak]

Насчет длины. Нестрогое рассуждение, но, по-моему, верное.

По мере увеличения числа шагов угол наклона отрезков к оси Х увеличивается. Правда, остаются и куски с малым наклоном (и даже один с наклоном единица, в центреЮ а также два с наклоном 2, ...), но их мало. Когда подавляющее число отрезков станет практически вертикальными, то на каждом шагу их длина будет умножаться на 5/3. Вот поясняющий рисунок:

 |         |
 |   =>  |\|
 |       |

Длина добавившейся части равна 2/3.

Таским образом, длина явно бесконечна

Просто, чтобы не оставалось белых пятнышек - эти рассуждения легко сделать строгими.

Рассмотрим замену одного отрезка на ломаную из трех звеньев.

Пусть отрезок соединяет точки (x0, y0) - (x0 + 3dx, y0 + 3dy).

По построению имеем, что dx <= dy.

Длина отрезка равна sqrt(9dx^2 + 9dy^2). Оценим длину полученной ломаной. Это будет sqrt(dx^2 + 4dy^2) + sqrt(dx^2 + dy^2) + sqrt(dx^2 + 4dy^2)

Оценим отношение новой длины к старой:

Код

(sqrt(dx^2 + 4dy^2) + sqrt(dx^2 + dy^2) + sqrt(dx^2 + 4dy^2)) / sqrt(9dx^2 + 9dy^2) >
(sqrt(   0 + 4dy^2) + sqrt(   0 + dy^2) + sqrt(   0 + 4dy^2)) / sqrt(9dy^2 + 9dy^2) =
(               2dy +                dy +                2dy) / (sqrt(18)dy) =
5/sqrt(18) = sqrt(25/18).

Таким образом, длина *каждого* отрезка (а, значит, и всей ломаной) на каждой итерации увеличивается как минимум в sqrt(25/18) - оценка грубая, но достаточная