Проверка числа на простоту, метод Миллера Опции

[Тёмный Эльф]

Существует ли алгоритм проверки числа на простоту? Я слышала, что можно отличить простое число от составного с помощью метода Миллера. В чем он заключается?

[WishMaster]

Нет необходимости проверять все делители(от 1 до n).Согласно теореме, если делитель числа не будет найден в пределах от 2 до sqrt(n), то число простое.Метод Миллера я, если честно,что-то забыл

[Тёмный Эльф]

Свидетели простоты и теорема Рабина
Пусть m — нечётное число большее 1. Число m - 1 однозначно представляется в виде , где t нечётно. Целое число a, 1 < a < m, называется свидетелем простоты числа m, если выполняются два условия:

m не делится на a;
или существует целое k, , такое, что
Теорема Рабина утверждает, что составное нечётное число m имеет не более различных свидетелей простоты, где — функция Эйлера.


Алгоритм Миллера — Рабина
Алгоритм Миллера — Рабина параметризуется количеством раундов r. Рекомендуется брать r порядка величины log2(m), где m — проверяемое число.

Для данного m находятся такие целое число s и целое нечётное число t, что m − 1 = 2st. Выбирается случайное число a,1 < a < m. Если a не является свидетелем простоты числа m, то выдается ответ «m составное», и алгоритм завершается. Иначе, выбирается новое случайное число a и процедура проверки повторяется. После нахождения r свидетелей простоты, выдается ответ «m, вероятно, простое», и алгоритм завершается.

Из теоремы Рабина следует, что если r случайно выбранных чисел оказались свидетелями простоты числа m, то вероятность того, что m составное, не превосходит 4 - r.


Алгоритм Миллера
Изначальный алгоритм, предложенный Миллером, был детерминированным и состоял в проверке всех a от 2 до 70ln(m)2. Алгоритм Миллера гарантированно распознает простые и составные числа при условии выполнения обобщённой гипотезы Римана. Алгоритм Миллера — Рабина не зависит от справедливости обобщённой гипотезы Римана, но является вероятностным.

(информация взята с сайта Википедии)