Вращение одного тела относительно другого, Угловое ускорение Опции

[Vinchkovsky]

Есть задание: тела вращаются с угловыми скоростями w1 и w2. Найти угловое ускорение (модуль) одного относительно второго. Оси вращения взаимно перпендикулярные.

Ранее решил задание о вращении тела относительно двух осей одновременно, подозреваю, что между заданиями есть связь, да и ответ одинаковый, но в этом задании мне трудно представить сам процесс, сделать рисунок.

В решении не понимаю формулу перехода в систему координат, не можно обойтись другими методами, используя рисунки, определения и привычные глазу формулы ?

Спасибо

[мисс_граффити]

ну типа Земля вращается вокруг Солнца, а Луна вокруг земли в перепендикулярной плоскости...

[Vinchkovsky]

мисс_граффити, огромное спасибо, теперь все понятно...

Сообщение отредактировано: Vinchkovsky - 28.02.2009 17:32

[Lapp]

Представь себе две конические шестерни в зацеплении. Обе крутятся (имеют _постоянную_ угловую скорость).



Теперь перейдем в систему одной из них (первой). При этом вторая будет как бы кататься по кругу по первой. Так? При этом вектор w₂ (пишу w вместо омеги, чтоб не путаться со шрифтами) будет постоянно менять свое направление - если так можно выразиться, с "угловой скоростью", равной w₁. Отсюда сразу следует ответ.

Примечание: зацепление шестерней тут не обязательно (вполне допустимо проскальзывание), я использовал его только для наглядности (привычности), поскольку такая передача часто встречается в механизмах (например, в дифференциале автомобиля).

[Lapp]

Вот эта задача мне значительно больше нравится .
Ты разобрался с моим решением? Я перечитал свой ответ и подумал, что могут возникнуть неясности.. Если нужно, поясню.

[Гость]

Да, разобрался, спасибо; главной проблемой было воображение

[Lapp]

О шестернях более-менее понял, но потом представил другую картину - как на рисунке. Допустим, я стою на черной точке (планете?) и смотрю на зеленую. И тогда я отдаляюсь-приближаюсь к последней, но мне кажется, что это она на самом деле кружит вокруг меня, а не я ;)
Ну а далее уже ясно, ускорение - это граница, в нашем случае, пророста (розовый) вектора (синего) на время - или производная b=dw_синий/dt (1). Тогда при повороте на угол d(fi) прирост вектора приближается к соотв. дуге: прирост=2*pi*R*(d(fi)/(2*pi))=R*d(fi)=w_синий*d(fi)
Подставляем в формулу (1), и d(fi)/dt даст второе угловое ускорение

Я отвечаю в теме про вращение. Извиняюсь за возврат к вроде бы и законченной теме, но я хочу, чтоб ты полностью разобрался. Задача решается за четверть секунды без всякой бумаги. Все, что нужно - хорошее пространственное воображение (способность представить картинку в уме) и абстрактное мышление (способность видеть общее в разных вещах и переносить это общее с одного на другое). Мое объяснение займет, конечно, значительно больше, чем четверть секунды. Но если ты его поймешь, ты сможешь сохранить себе немало времени и усилий в будущем.

Итак, два тела вращаются вокруг взаимно перпендикулярных осей. Найти угловое ускорение второго тела в системе первого.

Первое.
На первый взгляд может показаться странным, что в ответе может фигурировать отличное от нуля число. Первая модель, которая сама по себе приходит в башку - это заменить все "угловые" переменные на обычные линейные (угловые скорости - на обычные скорости, угловые ускорения - на обычные ускорения). И тогда следует тривиальный ответ: ускорение второго тела в системе первого равно нулю. И этот ответ верный (для линейных скоростей и ускорений). Но сразу возникает подозрение, что задача не может решаться ТАК просто, и мозг начинает искать подвох, а точнее - ошибку в рассуждениях с заменой вращения на линейное движение.

Ошибка находится довольно быстро. Она состоит в том, что СО, связанная с линейно движущимся с постоянной скоростью телом - это инерциальная СО. А СО, связанная с вращающимся телом - это явно НЕинерциальная СО. Все - этого рассуждения достаточно, чтоб отбросить первую, неудачную, "модель" и начать вникать глубже.

Второе.
Когда не совсем понятно, что делать дальше, нужно попытаться "вжиться в образ", представить себе происходящее как можно нагляднее. Этот прием не универсален, он не приносит успеха в некоторых областях физики (например, в квантовой механике), но для классической механики работает хорошо. Я люблю космическую тематику (намек на пример мисс_граффити), но все же это экзотика (все мы знаем про вращение небесных тел, но никто его никогда не видел: и Луна, и Солнце, и звезды - все они стоят на небе для нас), и я рекомендую использовать более привычные образы для моделей. Лично я всегда, когда приходится переходить во вращающуюся СО, представляю себе карусель - обычную, из парка, с лошадками .
Итак, первое из тел найдено, оно вращается вокруг вертикальной оси. Перейти в его СО "не просто, а очень просто" - достаточно купить билет на карусель. Теперь надо найти второе тело. Ищем тело, которое вращается вокруг горизонтальной (перпендикуляр к вертикали) оси. Это снова вроде бы несложно - любое колесо проезжающего мимо (прямо и с постоянной скоростью) автомобиля. Помогает это нам? Как-то не очень..

И вот тогда, продолжая настойчиво искать правильный образ, мы приходим к модели конических шестеренок (см. рисунок выше). Причем, нижняя из них - эта все та же карусель, на которую мы встанем - в самый центр. И что мы видим? Мы видим, что, закрепленная на неподвижной оси вторая шестерня вдруг начала бегать вокруг нас. С какой скоростью? Со скоростью -w₁. И вместе с ней как бы бегает вокруг нас ее вектор угловой скорости, w₂. Да-да, этот вектор мы можем представлять как нечто материальное (некую такую палку со стрелкой на конце). И теперь мы наглядно видим, что вектор это изменяется - а именно, поворачивается. Он указывает на север, потом плавно переходит к востоку, потом на юг, запад - и снова на север, восток... Он поворачивается точно так же, как, например, вектор R, проведенный от центра карусели до центра второй шестерни. И то, и другое - векторы, и с математической точки зрения они неотличимы. Да, каждый из них представляет свою физическую величину, эти величины различны по физическому смысле, но, повторяю, математически они есть два вектора - и ничто более. Причем, два вектора, ведущие себя одинаковым образом: они оба вращаются.

Вот тут как раз и понадобится та самая абстрактность мышления, о которой я упомянул выше. Далее - фокус, следи за руками.
Нам нужно угловое ускорение? Да. Это есть производная вектора угловой скорости? Да. Но мы знаем, что производная вектора R равна:

dR/dt = V = -w₁ x R

То есть, словами: нужно умножить вектор угловую скорость на R - и мы получим его производную. Но, как мы сказали выше, наши векторы R и w₂ неотличимы с точки зрения математики. Так давайте же сделаем чисто математическое действие: умножим w₁ на w₂:

dw₂/dt = -w₁ x w₂ = a₂₁.

Результирующий вектор a представляет собой производную вектора w₂ в СО первого тела. И это есть ответ к нашей задаче.

Ну, что, ты заметил, в какой момент фокусник применил ловкость рук? С одной стороны - в момент подмены векторов. С другой - а что тут такого? Если, например, ботинки и шляпа стоят одинаково - для твоего бюджета нет никакой разницы, что именно ты выберешь купить. Или, скажем, неважно, что именно провезти в багаже на самолете - швейную машинку или комьютер, если они весят одинаково. Вектор представляет собой направленный отрезок, складывающийся с себе подобными по правилу параллелограмма. Вектор изменяется - дифференциал изменения вычисляется (снова в соответствии с правилом параллелограмма), делится на дифференциал времени. Главное - не складывать метры с секундами, лампочки с апельсинами. Но если величины ведут себя аналогично - результаты математических операций над ними тоже будут аналогичны, будь то лампочки или апельсины

Математика - это не физика, и даже не часть ее. Это ее инструмент. Математика - абсолютно абстрактная наука. В отличие от физики, она имеет дело не с реальными понятиями, а с абстрактными. Никто не видел единицу, или, скажем, миллион. Никто не видел синус. Эти понятия именно хороши своей абстрактностью. Чтоб не выдумывать отдельно арифметику для лампочек и для апельсинов. Чтобы, обучившись на одном, уметь оперировать с другим. Математические модели совершенно разных явлений часто совпадают. Показанное выше - всего лишь частный пример. То же самое можно сказать, например и про гидродинамику и электростатику - не целиком, но во многих аспектах. Если мы видим, что исходные данные задачи аналогичны - зачем повторять уже сделанные вычисления? Зачем заново подсчитывать апельсины? Подчеркиваю, что это, хоть я и назвал фокусом, на самом деле - не фокус, а вполне законное применение математики.

Итак, теперь еще раз коротко решение задачи.
В системе первого тела вектор угловой скорости второго, w₂, вращается с угловой скоростью -w₁. Его производная вычислится аналогично производной радиус-вектора и будет равна -w₁xw₂. Все.

[Гость]

Извините, что никак не реагировал , ранее интернета не было полтора дня, сегодня же банально времени

Спасибо за настолько детальное объяснение. Главная идея понятна, а о производной вектора я и не думал как-то, у нас физика идет совсем не в ногу с матанализом и другими математиками, поэтому использовать такие инструменты не всегда привычно

[Lapp]

о производной вектора я и не думал как-то, у нас физика идет совсем не в ногу с матанализом и другими математиками, поэтому использовать такие инструменты не всегда привычно

На мой взгляд, здесь и не нужно корректного понятия производной. Вся прелесть состоит именно в том, что дифференцировать-то не надо! Я пользовался эти понятием по привычке, все это можно выкинуть из текста, заменив на родную со школы "скорость изменения". Может, тогда это будет несколько больше похоже на фокус, но в целом суть не изменится. Лично я впервые столкнулся с таким приемом до того, как узнал производную достаточно близко (до института).