Математическая логика, Теория множеств Опции

[Надин]

Вот и настала моя пора обратиться за помощью к высшим умам. 4 ночь без сна, а ответы на интересующие меня вопросы так и не найдены. Пожалуйста!!!!!!!!!! ПОМОГИТЕ!!!!

1.Доказать, что множество всех чисел x из (0;1), таких что сумма ряда x в степени корень из n (x^(sqrt(n))) (n от 1 до бесконечности) является рациональным чилом, счетно.

Мои мысли: у нас есть отображение чисел из интервала на подмножество рациональных чисел. Множество рациональных чисел счетно(можно легко доказать данный факт). Любое подмножество счетного множество конечно или счетно. Конечным оно быть не может, т.к. на данном интервале содержится множество рациональных чисел.
Затруднения: затруднения возникли с тем, что необходимо доказать, что у нас взаимнооднозначное отображение,т.е.биекция. Что если у нас есть х1 и х2, которые при данном отображении перейдут в одно и тоже рациональное число? Необходимо изучить (я полагаю) степенной ряд, если он окажется возрастающим то инъективность будет доказана. НО КАК ДОКАЗАТЬ ЧТО ОН ВОЗРАСТАЕТ НЕ ЗНАЮ....
ПОМОГИТЕ
2. Пусть множество Х имеет мощность континуум и S-множество всех не более чем счетных подмножеств Х. Доказать, что S имеет мощность континуум.
В данной задаче буду благодарна хотя бы за идею как решать (семенарист не одобрил не одной попытки решения этой задачи, а как решать не намекнул...)...

Спасите глупую студентку от неменуемого провала!!!

[Lapp]

Привет, Надин!
В первой задаче ты рассуждаешь совершенно правильно. Я помогу тебе только доказать, что множество сумм возрастает на (0,1).
Итак, берем два числа, a и b, причем 0<a<b<1. Тогда
b = a*c ,
где c>1.
Теперь распишем ряды в явном виде (буквой V я обозначаю радикал, то есть корень)

Sa = a^V(1) + a^V(2) + a^V(3) + ...

Sb = (a*c)^V(1) + (a*c)^V(2) + (a*c)^V(3) + ... = a^V(1)*c^V(1) + a^V(2)*c^V(2) + a^V(2)*c^V(2) + ...

Видно, что каждый член ряда Sb равен соответственному члену ряда Sa, но домноженному на число c^V(n), которое больше единицы. То есть каждый n-ный член ряда Sa больше n-ного члена ряда Sb, а значит и сумма больше.

Если тебя это еще не убедило, то давай второй член ряда Sb просто заменими на второй член ряда Sa (или уберем из него множитель c^V(n), больший единицы). Очевидно, что при этом сумма станет меньше - так? Далее, поступим так с каждым последующим членом (кроме первого!). Таким образом, мы получим два одинаковых ряда, начиная со второго члена. Но первый член во втором ряде все же больше. Значит, и ряд больше.
Следовательно, Sa<Sb.

Вторую чуть позже, ок?