Математическая логика, Теория множеств Опции

[Надин]

Вот и настала моя пора обратиться за помощью к высшим умам. 4 ночь без сна, а ответы на интересующие меня вопросы так и не найдены. Пожалуйста!!!!!!!!!! ПОМОГИТЕ!!!!

1.Доказать, что множество всех чисел x из (0;1), таких что сумма ряда x в степени корень из n (x^(sqrt(n))) (n от 1 до бесконечности) является рациональным чилом, счетно.

Мои мысли: у нас есть отображение чисел из интервала на подмножество рациональных чисел. Множество рациональных чисел счетно(можно легко доказать данный факт). Любое подмножество счетного множество конечно или счетно. Конечным оно быть не может, т.к. на данном интервале содержится множество рациональных чисел.
Затруднения: затруднения возникли с тем, что необходимо доказать, что у нас взаимнооднозначное отображение,т.е.биекция. Что если у нас есть х1 и х2, которые при данном отображении перейдут в одно и тоже рациональное число? Необходимо изучить (я полагаю) степенной ряд, если он окажется возрастающим то инъективность будет доказана. НО КАК ДОКАЗАТЬ ЧТО ОН ВОЗРАСТАЕТ НЕ ЗНАЮ....
ПОМОГИТЕ
2. Пусть множество Х имеет мощность континуум и S-множество всех не более чем счетных подмножеств Х. Доказать, что S имеет мощность континуум.
В данной задаче буду благодарна хотя бы за идею как решать (семенарист не одобрил не одной попытки решения этой задачи, а как решать не намекнул...)...

Спасите глупую студентку от неменуемого провала!!!

[Lapp]

Привет, Надин!
В первой задаче ты рассуждаешь совершенно правильно. Я помогу тебе только доказать, что множество сумм возрастает на (0,1).
Итак, берем два числа, a и b, причем 0<a<b<1. Тогда
b = a*c ,
где c>1.
Теперь распишем ряды в явном виде (буквой V я обозначаю радикал, то есть корень)

Sa = a^V(1) + a^V(2) + a^V(3) + ...

Sb = (a*c)^V(1) + (a*c)^V(2) + (a*c)^V(3) + ... = a^V(1)*c^V(1) + a^V(2)*c^V(2) + a^V(2)*c^V(2) + ...

Видно, что каждый член ряда Sb равен соответственному члену ряда Sa, но домноженному на число c^V(n), которое больше единицы. То есть каждый n-ный член ряда Sa больше n-ного члена ряда Sb, а значит и сумма больше.

Если тебя это еще не убедило, то давай второй член ряда Sb просто заменими на второй член ряда Sa (или уберем из него множитель c^V(n), больший единицы). Очевидно, что при этом сумма станет меньше - так? Далее, поступим так с каждым последующим членом (кроме первого!). Таким образом, мы получим два одинаковых ряда, начиная со второго члена. Но первый член во втором ряде все же больше. Значит, и ряд больше.
Следовательно, Sa<Sb.

Вторую чуть позже, ок?

[Надин]

Видно, что каждый член ряда Sb равен соответственному члену ряда Sa, но домноженному на число c^V(n), которое больше единицы. То есть каждый n-ный член ряда Sa больше n-ного члена ряда Sb, а значит и сумма больше.
Вторую чуть позже, ок?

Вроде бы наоборот - каждый n-ный член ряда Sb больше n-ного члена ряда Sa, а значит и сумма больше.
Но я и так поняла! Огромное спасибо! Все оказалось гораздо проще, чем я думала. Прям задача из 1ого семестра. Плохой, видно, из меня математик... Спасибочки!!!!


На счет второй задачи. Рассуждение: никуда дальше чем на примере дело не идет. Если взять например множество действительных и рациональных чисел.
Множество действительных чисел(наше множество X) имеет мощность континуум. Множество рациональных чисел - это подмнодество действительных чисел и оно имеет мощность континуум. Если любое бесконечное множество объединить с не более, чем счетным, то объединение будет эквивалентно исходному множеству, т.е мощность останется неизменной. Значит S имеет мощность континуум. Наверное, этот пример можно расширить, т.к если у нас есть произвольное множество Х, имеющее мощность континуум, то оно будет эквивалентно (или равномощно) множеству рациональных чисел. Если это можно использовать как решение, то у меня опять возникает трудность: как именно составиет биекцию между множеством рациональных чисел и подмножеством действительных???

[Lapp]

> Вроде бы наоборот - каждый n-ный член ряда Sb больше n-ного члена
> ряда Sa, а значит и сумма больше.
Да, конечно. Перепутал индексы.

> Множество действительных чисел(наше множество X) имеет мощность континуум.
> Множество рациональных чисел - это подмнодество действительных чисел и оно
> имеет мощность континуум.
Нестыковочка. Рациональные числа счетны.

> Если любое бесконечное множество объединить с не более, чем счетным,
> то объединение будет эквивалентно исходному множеству, т.е мощность
> останется неизменной. Значит S имеет мощность континуум.
Что-то я совсем потерял нить.. Не вижу никакой связи этого примера с условиями задачи

> Наверное, этот пример можно расширить, т.к если у нас есть произвольное множество Х,
> имеющее мощность континуум, то оно будет эквивалентно (или равномощно)
> множеству рациональных чисел.
Опять та же ошибка. Множество рациональных чисел счетно!

> Если это можно использовать как решение, то у меня опять возникает трудность:
> как именно составиет биекцию между множеством рациональных чисел и
> подмножеством действительных???
Если имеется в виду несчетное подмножество действительных чисел, то никак. А вообще я никак не пойму твоих рассуждений, так что кончу отвечать и начну говорить сам. Только сразу скажу, что задачу я не решил, хотя думал долго..

Итак, нам нужно доказать, что множество всех конечных и счетных подмножеств (S) континуального множества (X) континуально.
Довольно легко получить сразу оценку снизу.
Из данного нам множества S выделим подмножество, состоящее из одноэлементных множеств. Биекция этого множества на изначальное множество X проводится естественным образом - каждому из этих одноэлементных множеств ставится в соответствие сам этот элемент. Таким образом, у множества S обнаружено континуальное подмножество, что означает, что мощность S не меньше континуума.

Осталось доказать, что она не больше континуума . Но это-то я никак не могу сделать! Утверждение кажется в высшей степени правдоподобным, но точное доказательство ускользает.. Не могу ограничить мощность сверху, кроме как алефом-2. Я подумаю еще денек, а там видно будет.

Надин, если что-то непонятно - спрашивай смелее. Мне показалось, что ты не совсем верно поняла условие. А может, я не совсем верно понял тебя