Счетность, континуум, биекция, задачи на множества Опции

[Кошка]

Помогите, плиз, решить задачи по доп. главам анализа
1. Док-ть, что кол-во всех пятёрок, которые можно нарисовать на плоскости (непересекающихся, разных размеров), - множество мощности континуума, а множество всех восьмёрок(непересекающихся) не более чем счётно
2. Док-ть, что множество всех непересекающихся следов(множеств трёх отрезков из одной точки) не более чем счётно
3. Пусть r1=1, r2n=rn +1, r(2n+1)=1/r2n, функция f из n в rn – биекция. Доказать, что функция f является биекцией из множества натуральных в множество рациональных чисел.

[Lapp]

Итак, попытаюсь выполнить обещание )).
Собственно, есть возможность, что с первой задачей уже стало понятнее после того, как я исправил свою ошибку. Но все же тут есть, что сказать, думаю, поскольку суть предложений по доказательству была несколько.. non consistent.
Дело в том, что есть разница между линейным континуумом (т.е. на прямой или другой линии) и, так сказать, площадным (не путать с площадным искусством)). Ты помнишь доказательство эквивалентности отрезка и квадрата? Я хочу обратить внимание на то, что в нем используется числовое представление точек, то есть эквивалентность понятия точки на плоскости и объекта, представленного цифровой записью. Это очень тонкий момент, и без него тут не обойтись. Множество точек квадрата двумерно, а отрезка - одномерно, и простым геометрическим процессом типа подобия тут не обойтись. Для доказательства приходится перемешивать точки так, что мама не горюй. Мощность - это всего лишь одна из характеристик множеств; и даже при равной мощности множества могут настолько разниться по своей структуре, что доказательство этого факта (равномощности) может весьма усложниться. Двумерность - это как раз одно из таких усложняющих качеств, принципиально неустранимое.

Возвращаясь к задаче с прямыми, легко увидеть, что это множество существенно двумерно, и надежды на чисто геометрическое его сопоставление с отрезком или прямой сразу рушатся. Остается либо делать, как я сделал (извиняюсь, в первом варианте допустил ошибку), либо доказывать равномощность с отрезком, используя цифровое представление, например. Использовать представление прямой как функции - просто и понятно (только не нужно забывать про вертикальные)). Такое решение базируется на аксиомах и достоверных фактах и содержит строго логические ходы. А именно:
1. имеем плоскость с системой координат на ней;
2. невертикальная (не параллельная оси Y) прямая на плоскости отождествляется с уравнением прямой, характеризуемым двумя числовыми параметрами;
3. совокупность этих параметров итерпретируем как координаты точки в двумерном пространстве;
4. последнее имеет мощность c;
5. множество вертикальных прямых сопоставляем с точками их пересечения оси X и также имеем континуум;
6. сумма двух континуальных множеств суть континуум.
Именно это я называл точным и полным решением, которое примет любой преп.

Справедливости ради следует отметить наличие и других решений. Например, такое: рассмотрим выделенную прямую на плоскости, а на ней - выделенную точку. Рассмотрим прямые, проходящие через эту точку (кроме самой выделенной прямой). Мощность этого множества - континуум, поскольку их можно сопоставить с точками полуокружности-интервала с центром в выделенной точке. Если объединить все такие множества по всем точкам выделенной прямой, то мы получим почти все возможные прямые, и это объединение будет континуально (поскольку континуальное объединение континуумов есть континуум). Добавив сюда все прямые, параллельные нашей выделенной, включая ее саму (тоже континуум), мы снова получим котинуум. Этому решению, как кажется на первый взгляд, удается избежать проблемы с двумерностью, но это иллюзия: то, что континуальное объединение континуумов дает континуум (то, что я упомянул в скобочках), снова доказывается так же, как и континуальность квадрата.. В моем же решении используется объединение всего двух континуумов, и доказательство континуальности такого объединения значительно проще. Да, в нем используется континуальность плоскости - считаю ее доказанной. Если нужно, могу доказать.

Уфф.. Про использование спирали во второй задаче я напишу чуть позже )).

[Lapp]

Про использование спирали во второй задаче я напишу чуть позже )).

Так, продолжим наш сериал )).
Итак, началось с этого:

я бы предложил выбрать один из многоугольников и перенумеровать остальные по спирали от него

Само по себе слово "перенумеровать" означает присвоить каждому номер, то есть поставить во взаимно-односначное соответствие с натуральным рядом. Заметь: именно каждому встреченному присвоить уникальный номер. Например, нумерация четных чисел, больших нуля, может быть сделана присвоением каждому номера, вдвое меньшего его величины. Еще раз: непременным условием успешного нумерования является наличие номера у каждого объекта после окончания процедуры. "Процедурой" в случае четных чисел можно считать произнесение фразы, написанной мной в предыдущем предложении. В общем случае, процедурой является определение правила пересчета.

Продолжаю. В начальном варианте, по-видимому, предполагалось такое развитие спирали, которое явно нумерует шестиугольники пересеканием. Затем, когда я указал на возможное наличие предельных точек (ПТ), спираль стала нумеровать, по-видимому, целые "счетные кластеры" (мой термин), а также появились некие "параллельные спирали" (твой термин). Возможно, я не вполне точно следую тому, что ты имел в виду, но ты так ни разу и не определил точную процедуру. Что случилось? Не ты ли требуешь от спрашивающих точно сказать, что они хотят (могу привести примеры тем))? Куда девалась твоя дотошность в данном случае? Я понимаю, что в первом мессадже действительно мог быть лишь один намек, а не полное доказательство. Но когда спор продолжился, точного определения процедуры так и не появилось. А дело в том, что этот способ вряд ли существует..

В примере в том мессадже (с интервалами) я хотел сказать, что способ доказательства должен быть верным. И если хотя бы один элемент множества выпадает, этот способ доказательства нельзя считать верным. Заметь, я не говорю, что множество не счетное, я говорю только, что способ доказательства его счетности неверен. Давай рассмотрим подробнее..

В том примере с интервалами может быть по крайней мере два выхода из положения.
1. начинать подсчет с интервала-отщепенца, а потом переходить к остальным;
2. подсчитать сначала подмножество, а потом сказать, что объединение счетного и конечного множества - счетно.
Во втором случае решение разбито на две части. Хотя можно считать, что центр тяжести в первой, а вторая - ерундовая добавка, но все равно это уже не есть прямой пересчет. Если твоя спираль проходит через счетные кластеры - это тоже уже не есть прямой пересчет. Но это еще полбеды..

Если ты собираешься теперь перенумеровывать такие вот счетные кластеры, ты должен что-то сказать в защиту их расположения на плоскости. И это что-то должно исходить из геометрических особенностей данных фигур (равносторонние непересекающиеся шестиугольники) - то, о чем ты вообще по какой-то странной причине избегаешь говорить. Хорошо, невложенность тебе казалось естественной. Хотя доказательство этого факта, если я правильно помню, являлось предметом одной из олимпиадных задач - ладно, я готов поверить. Но как ни крути, тебе придется доказать, что таких счетных кластеров на плоскости счетное количество - либо с помощью спирали (точного ее представления), либо еще как. Если ты так и не представишь точный способ или проведешь доказательство этого факта "еще как", то.. то я вообще не понимаю - а при чем тут спираль? . Тогда просто достаточно сказать, что счетное объединение счетных множеств счетно..

Короче, я жду точного определения "спирали". То есть так: начинаем с такой-то точки, идем на север, сворачиваем туда-то через столько-то.. если встречаем (пересекаем, касаемся..), то присваиваем номер такой-то.. в результате мы пройдем всю плоскость (удалимся от начала на любое наперед заданное расстояние во всех направлениях) потому что... Только так, и никак иначе.

В примере с интервалами "спираль" не прошла, потому что не смогла перешагнуть через единицу. Номера закончились, нумеровать "отщепенца" было нечем. В этом примере мы легко можем модифицировать решение, чтобы сделать его верным. Можем ли мы сделать это в случае твоей спирали? Я не уверен.

Давай рассмотрим еще один пример.
Счетное множество точек на плоскости, сходящихся к каждой точке с целыми координатами (ЦТ). То есть каждая ЦТ является предельной (а все остальные - нет), доопредели его точно сам, если хочешь. Вот в этом случае (я считаю его упрощенным, поскольку тут зафиксированы предельные точки) ты сможешь провести "спираль" так, чтобы она пересчитала все точки? Я не исключаю этого, но боюсь, в этом случае она вряд ли сохранит хоть какой-то намек на родственные отношения с другими спиралями )). Если же твоя спираль будет "считать" только предельные точки, то - а зачем она вообще? Хорошо, ты разбиваешь задачу на два этапа: пересчет ПТ и объединение их окрестностей - имеешь полное право. Но тогда в оригинальной задаче (про шестиугольники) я попрошу тебя выделить два этапа, одним из которых будет пересчет по спирали предельных точек.. И, должен тебе признаться, я тебе не завидую, потому что на основе геометрии доказывать тут, что ты сможешь провести спираль через все ПТ так, чтобы пройтись по всей плоскости - это ооооочень непросто, мне кажется.. То есть, например, такой вопрос: в нашем множестве предельные точки есть (пример легко привести), а вот есть ли предельные точки у множества ПТ? Я, например, с наскока не могу ответить. Мне пока кажется, что да, могут быть. А ты можешь? Или, скажем, может ли быть множество ПТ плотным?

Спираль - вовсе не такое уж мощное оружие, как кажется иногда на первый взгляд. Ей можно пересчитать все ЦТ (то есть просто точки с целыми координатами, без сгущения к ним) на плоскости, но для пересчета всех точек с рациональными координатами (РТ) она абсолютно не годится. То, что я пытаюсь тебе сказать, как раз и есть, что нужен более подробный геометрический анализ, чтобы сказать - точно ли наше множество больше похоже на множестов ЦТ, чем на РТ? Я пока не могу дать ответа на этот вопрос. Знаю только, что раз ПТ могут существовать - это уже точно сложнее, чем просто множество ЦТ. И до того, как ты доказал, множество может быть хоть континуумом, хоть чем. Так что говорить, что спираль пересечет счетное количество предельных точек - весьма преждевременно..

Не знаю, удалось ли мне указать тебе на то, в чем состоит твоя ошибка.. Это, я бы сказал, задача неблагодарная. Я усвоил это еще по временам преподавания матанализа в спецшколах и на кружках при мехмате МГУ. В большинстве случаев (но не во всех) легко отличить верное решение от неверного, но вот объяснить, в чем именно состоит ошибка - это иногда очень непросто.. )) Если у тебя остаются вопросы - давай продолжим наш квест за истиной)).