Счетность, континуум, биекция, задачи на множества Опции

[Кошка]

Помогите, плиз, решить задачи по доп. главам анализа
1. Док-ть, что кол-во всех пятёрок, которые можно нарисовать на плоскости (непересекающихся, разных размеров), - множество мощности континуума, а множество всех восьмёрок(непересекающихся) не более чем счётно
2. Док-ть, что множество всех непересекающихся следов(множеств трёх отрезков из одной точки) не более чем счётно
3. Пусть r1=1, r2n=rn +1, r(2n+1)=1/r2n, функция f из n в rn – биекция. Доказать, что функция f является биекцией из множества натуральных в множество рациональных чисел.

[Lapp]

Кошка,
не надо постить свои задачи в чужие темы - открывай новые.

Задачи хорошие, ответы будут

[Lapp]

1. Док-ть, что кол-во всех пятёрок, которые можно нарисовать на плоскости (непересекающихся, разных размеров), - множество мощности континуума,

Вопрос по условию: пятерки должны быть подобны между собой?
Если да, то при определенной форме пятерки доказательство, боюсь, невозможно. Поскольку в условии не определено точно, что есть пятерка, то будем считать, что они не обязательно должны быть подобны - главное, чтоб читались.

Тогда решение состоит в построении примера, и пример я приведу для пятерок вполне определенной формы, которые все же подобны между собой (и даже равны).

На рисунке самая левая пятерка - как бы первая, ее мы размножаем параллельным переносом вдоль синей линии. Синяя линия проходит немного горизонтальнее касательной к закруглению в месте сочленения (красная линия). Понятно, что такую пятерку можно провести через каждую точку синей линии, тем самым их множество равномощно множеству точек на прямой, которое есть континуум.

Если касательная наклонена в другую сторону или горизонтальна, то такое решение не годится, но непольшой коррекцией формы мы все же можем добиться набора пятерок, которые будут вложены друг в друга достаточно плотно:

Продолжать процесс до такой степени, что пятерки будут плохо читаемыми, нет необходимости: между красной и синей их уже поместится континуум.
Ну и вывод в обоих случаях следующий: мы нашли подмножество мощности континуум, само же множество не может превышать мощности континуум (каждой пятерке можно поставит в соответстие точку - например, край закругления). Следовательно множество пятерок континуально.

а множество всех восьмёрок(непересекающихся) не более чем счётно

Тут в некотором смысле проще, хотя рассуждений будет немного больше.
Восьмерка в отличие от пятерки обладает площадью. Никакие предположения или ограничения на форму не нужны.

Во-первых разобъем все действительные числа на полуинтервалы (1^n, 1^(n+1)], где n - любое целое число. Полуинтервал, в записи которого стоит число n, будем называть n-ым интервалом.
Рассмотрим все восьмерки, у которых
а) площадь находится в пределах n-ого интервала квадратных метров (далее единицы измерения опускаю);
б) диаметр находится в пределах к-го интервала.
Будем называть такие восьмерки (n,k)-восьмерками.

Рассмотрим круг с центром в начале координат и радиусом равным максимальному диаметру (то есть 2^(k+1) ). В этот круг целиком может поместиться никак не более 2*S/(2^n) (n,k)-восьмерок (включая написанные внутри других таких же восьмерок; S - площадь круга), то есть конечное число.

Теперь учтем те восьмерки, которые не вошли в круг полностью. Для этого окружим круг кольцом ширины 2^(k+1). Все они окажутся внутри большого круга, ограниченного внешней границей кольца. Это означает, что их тоже конечное число.

Теперь увеличим радиус малого круга вдвое и повторим рассуждения. Таким образом, образовав бесконечную последовательность кругов, мы можем пересчитать все (n,k)-восьмерки. Тем самым мы доказали, что их множество счетно.

Осталось только сказать, что количество классов (n,k)-восьмерок тоже счетно. А счетное объединение счетных множество также счетно. Тем самым задача о восьмерках решена.


Задача о птичьих следах решается аналогично, с небольшой модификацией. Я напишу решение завтра (если никто не опередит ).

[Michael_Rybak]

Про восьмерки есть такое решение: поскольку множество рациональных чисел - счетно, то и множество точек с рациональными координатами - счетно, а, значит, счетно и множество *пар* точек с рациональными координатами. Выберем в каждом кругу восьмерки по точке с рац. координатами, и поставим эту пару ей в соответствие. Поскольку восьмерки не пересекаются, каждая пара может встретиться не больше одного раза.

Про птичьи следа - точно так же, только не пары, а тройки (соединяем концы отрезков, получаем треугольник, разбитый на три меньших следом. В каждом из меньших треугольников берем по рациональной точке). Хотя, в принципе, можно и двойками обойтись.



Сообщение отредактировано: Michael_Rybak - 2.10.2006 18:24

[Lapp]

каждая пара может встретиться не больше одного раза.

Согласен. Ключ к решению - именно двусвязность, мое решение учитывает ее довольно сложным образом..

Про птичьи следа - точно так же, только не пары, а тройки (соединяем концы отрезков, получаем треугольник, разбитый на три меньших следом. В каждом из меньших треугольников берем по рациональной точке). Хотя, в принципе, можно и двойками обойтись.

Боюсь, не годится.. Вот два следа и три рациональных точки, характеризующих каждый из них.