Счетность, континуум, биекция, задачи на множества Опции

[Lapp]

Сергей, это несерьезно..

Было предложено 2 варианта.

Какие варианты? Где в них хоть намек на (верное) доказательство? Через точку или отрезок проходит много прямых..

Можно и так, но это "двумерные" варианты. Предложенные мною варианты при данном подходе соответствуют b=0 и a=const соответственно.

Доказательство "социализма в отдельно взятой стране"? И зачем оно? И кому оно надо? Нужно доказательство для всех прямых, а не для подмножества.

Хотя бы для того, чтобы не доказывать, что квадрат континуума есть континуум.

Достойная цель )). Надеюсь, опираться на доказанные факты можно. Если нет или не еще доказывалось - надеюсь, автор темы продолжит спрашивать.

Если бы требовалось доказательство, я бы предложил выбрать один из многоугольников и перенумеровать остальные по спирали от него.

Доказательство требуется несомненно. Спираль абсолютно не годится в его качестве. Без рассуждения о невложенности она вообще вызывает недоумение. Да и с ним - не более, чем ошибка..

[andriano]

Доказательство требуется несомненно. Спираль абсолютно не годится в его качестве. Без рассуждения о невложенности она вообще вызывает недоумение. Да и с ним - не более, чем ошибка..

Мне кажется, ты придираешься.
1. В исходном сообщении был вопрос, на который я ответил. Речи о необходимости доказывать не было. Следовательно тезис "Доказательство требуется несомненно." исходит исключительно от тебя, но не от автора исходного сообщения. Так что позволь мне исходить из своих, а не из твоих предположений о том, что же на самом деле требуется.
1а. И даже в том случае, если решение мне неведомо, но у меня есть что сказать по ЧАСТИ затронутых вопросов, не вижу противопоказаний для ответа.
2. Пути, по которым может пойти доказательство, я указал. Полное доказательство, естественно, нет. Упоминание о ax+by=0 точно так же не более, чем указание пути. Мне кажется, не очень справедливо предъявлять к другим требования, которых сам не спешишь придерживаться.
3. Невложенность, особенно в условиях многоугольников строго определенного вида (с фиксированным количеством углов и равной длиной всех сторон), мне кажется достаточно очевидной. В полном доказательстве, естественно, о ней нужно упомянуть, но упоминания в краткой схеме она IMHO недостойна.
4. При указании ошибки желательно указать хотя бы один опровергающий пример.

[Lapp]

Мне кажется, ты придираешься.

Я старался говорить только о существенных вещах..

1. В исходном сообщении был вопрос, на который я ответил. Речи о необходимости доказывать не было. Следовательно тезис "Доказательство требуется несомненно." исходит исключительно от тебя, но не от автора исходного сообщения. Так что позволь мне исходить из своих, а не из твоих предположений о том, что же на самом деле требуется.

Ок, с этим не буду спорить. Извиняюсь, если обидел.

1а. И даже в том случае, если решение мне неведомо, но у меня есть что сказать по ЧАСТИ затронутых вопросов, не вижу противопоказаний для ответа.

Безусловно. Как и я не вижу оснований не возразить .

2. Пути, по которым может пойти доказательство, я указал. Полное доказательство, естественно, нет. Упоминание о ax+by=0 точно так же не более, чем указание пути. Мне кажется, не очень справедливо предъявлять к другим требования, которых сам не спешишь придерживаться.

Э, нет! Я привел полное доказательство, которое нормальный преп защитает (если не попросит доказательства континуальности плоскости). какие указания пути?? все четко.

3. Невложенность, особенно в условиях многоугольников строго определенного вида (с фиксированным количеством углов и равной длиной всех сторон), мне кажется достаточно очевидной.

Да?.. уважаю.. Я думал над этим не меньше получаса, почти час.. правда, без бумажки. Тупею, наверное..

В полном доказательстве, естественно, о ней нужно упомянуть, но упоминания в краткой схеме она IMHO недостойна.

гм-гм.. но возразить как-то нечего.. И все-таки, из каких именно условий задачи она вытекает, я бы не посчитал лишним сказать.

4. При указании ошибки желательно указать хотя бы один опровергающий пример.

Хм.. Сейчас попробую.. Так. Схема с по крайней мере несколькими предельными точками, к которым стягиваются последовательности шестиугольников. Нескольких вполне достаточно, хотя их может быть бесконечное количество.

[andriano]

Хм.. Сейчас попробую.. Так. Схема с по крайней мере несколькими предельными точками, к которым стягиваются последовательности шестиугольников. Нескольких вполне достаточно, хотя их может быть бесконечное количество.

Это уже проба или она запланирована на дальнейшее?
Если первое, то я толком не понял о чем речь. Но если "последовательность", то она как бы изначально подразумевает либо конечность, либо счетность.

[Lapp]

Это уже проба или она запланирована на дальнейшее?

Нет, это контрпример.

Если первое, то я толком не понял о чем речь. Но если "последовательность", то она как бы изначально подразумевает либо конечность, либо счетность.

Последовательность в данном случае подразумевает бесконечность, на которой спираль споткнется. Ты, правда, не определил спираль полностью, но я так ее интуитивно понял. При чем тут счетность, я не знаю - спираль есть спираль, и она не годится.

[andriano]

При чем тут счетность, я не знаю - спираль есть спираль, и она не годится.

Можно аргументировать, почему не годится?

[Lapp]

Можно аргументировать, почему не годится?

Ну, я, вроде, написал выше.. Если есть предельные точки - спираль через них не пройдет.
Давай так: ты точно определишь "спираль", а я точно отвечу, почему.


Добавлено через 12 мин.
Ты представь себе этот процесс (спираль) в деталях. Вот, ты выбрал 6-угольник в начале координат. А точка (10,0) - предельная, до нее бесконечное количество 6-угольников. Как спираль через нее переберется, чтобы пройти дальше по x?

[andriano]

У спирали должно быть ограничение на шаг (т.е. расстояние между двумя соседними витками) такое, чтобы никакой шестиугольник не мог поместиться между витками. Как вариант - спираль с постоянным шагом, но не единственная, а мношество спиралей, начинающееся с единственной, к которой по мере ее раскрутки (и уменьшения кривизны) добавляются другие спирали "параллельные" данной.
Возможен вариант и с разбиением плоскости на счетное количество конечных регионов, внутри каждого из которых своя спираль.
В ЛЮБОМ случае ход спирали никак не зависит от имеющихся либо не имеющихся в данном месте шестиугольников, поэтому наличие бесконечного их количества в конечной области пространства никак не может "остановить" спираль. Многоугольники подсчитываются в том порядке, в котором их пересекла спираль. Если многоугольник будет пересечен спиралью более одного раза (а это непременно случится), то либо считать его несколько раз (что ничего не меняет), либо учитывать только первое пересечение.

[Гость]

а можно попробовать установить соответствие с квадратом,а потом доказакть,что множество восьмерок рац.чисел счетно?шестиугольники ведь равносторонние,значит вариантов построения не так много???

[Lapp]

У спирали должно быть ограничение на шаг (т.е. расстояние между двумя соседними витками) такое, чтобы никакой шестиугольник не мог поместиться между витками. Как вариант - спираль с постоянным шагом, но не единственная, а мношество спиралей, начинающееся с единственной, к которой по мере ее раскрутки (и уменьшения кривизны) добавляются другие спирали "параллельные" данной.
Возможен вариант и с разбиением плоскости на счетное количество конечных регионов, внутри каждого из которых своя спираль.
В ЛЮБОМ случае ход спирали никак не зависит от имеющихся либо не имеющихся в данном месте шестиугольников, поэтому наличие бесконечного их количества в конечной области пространства никак не может "остановить" спираль. Многоугольники подсчитываются в том порядке, в котором их пересекла спираль. Если многоугольник будет пересечен спиралью более одного раза (а это непременно случится), то либо считать его несколько раз (что ничего не меняет), либо учитывать только первое пересечение.

Сергей, у меня такое ощущение, что ты читаешь мои посты недостаточно внимательно. Во всяком случае, ты стойко не обращаешь внимания на присутствующие в них ключевые слова "предельная точка". Пожалуйста, объясни как можно точнее поведение спирали на подходе к ней (пример выше).
Далее, я говорю о неплотном множестве предельных точек. Можешь ты доказать, что оно действительно таково? Для твоего метода решения это жизненно необходимо. Извини, но твои слова о "параллельных спиралях" очень общие. Ты либо укажи точный способ обхода, либо хватит пространных слов.

а можно попробовать установить соответствие с квадратом,а потом доказакть,что множество восьмерок рац.чисел счетно?шестиугольники ведь равносторонние,значит вариантов построения не так много???

Гость (он же автор вопроса, он же leon00831, насколько я понимаю) о чем ты говоришь? Решение задачи дано выше (пост №18) - чем оно тебя не устраивает?.. Ты хочешь решить другим способом? Тогда по крайней мере скажи, об этом. И при чем тут восьмерки?? Это совсем другая задача. Еще раз: полное и точное решение смотри в сообщении номер 18. Что-то не так с ним? Его у тебя не приняли? Тогда скажи, как ты его подавал и что ответили.. А отвечать на все фантазии мне уже начинает надоедать..

[andriano]

Во всяком случае, ты стойко не обращаешь внимания на присутствующие в них ключевые слова "предельная точка".

Я просто не знаю, что такое предельная точка. Не мог бы ты объяснить?
Насколько я понимаю, предельная точка рассматривается только либо для конкретного множества, либо для конкретной последовательности, абстрактных предельных точек не существует.

Пожалуйста, объясни как можно точнее поведение спирали на подходе к ней (пример выше).

Поведение спирали НИКАК не зависит от наличия каких либо точек.

[Lapp]

Я просто не знаю, что такое предельная точка. Не мог бы ты объяснить?
Насколько я понимаю, предельная точка рассматривается только либо для конкретного множества, либо для конкретной последовательности, абстрактных предельных точек не существует.

Не знаю, что ты имеешь в виду под абстрактной п.т., но согласен, что тут может потребоваться уточнение. Предельной я тут называю точку плоскости, любая окрестность которой пересекает бесконечно много 6-угольников.

Поведение спирали НИКАК не зависит от наличия каких либо точек.

Отделение "параллельных" спиралей я тоже склонен называть поведением (этот механизм, как впрочем и основной, ты не объяснил).

Одна спираль не в состоянии помочь пересчитать 6-угольники, так как.. вот, смотри.

Пусть множество интервалов на прямой устроено так:

1: (0 , 0.5)
2: (0.5 , 0.75)
3: (0.75 , 0.875)
4: (0.875 , 0.9375)
...
n: (1-1/n , 1-1/(n+1))
...
и еще интервал (1 , 2)

Допустим, мы пытаемся пересчитать их все по порядку, передвигаясь от 0 вправо по прямой. Тогда интервал (1 , 2) останется непересчитанным, мы до него просто никогда не дойдем.

Такая же ситуация возникает, когда спираль проходит предельную точку. Именно это я называл выше "споткнется". Пересечь она их пересечет, но занумеровать их в порядке пересечения невозможно.

Сообщение отредактировано: Lapp - 7.01.2010 9:04

[andriano]

Допустим, мы пытаемся пересчитать их все по порядку, передвигаясь от 0 вправо по прямой. Тогда интервал (1 , 2) останется непересчитанным, мы до него просто никогда не дойдем.

Такая же ситуация возникает, когда спираль проходит предельную точку. Именно это я называл выше "споткнется". Пересечь она их пересечет, но занумеровать их в порядке пересечения невозможно.

Ты не совсем верно представляешь себе, что такое счетное множество.
Счетность - имманентное свойство множества, оно не зависит от того, в каком порядке мы собрались его пересчитывать.
Приведенный пример множества является счетным (я надеюсь, это не нужно доказывать? Хотя, если нужно, я докажу). При этом счетность ни в коей мере не утрачивается, если мы изобрели такой способ подсчета, который пг нашим представлениям оставляет неучтенными какие-то элементы.
Кстати, это можно доказать.
Предположим, что если мы изобретем способ подсчета множества, при котором некоторым его элементам не удается за конечное число шагов подобрать соответствие, то такое множество не следует считать счетным.
Возмен множество натуральных чисел и сопоставим каждому числу i число i-1. Очевидно, при таком способе подсчета мы не найдем соответствия единице. Откуда выходит, что множество натуральных чисел не является счетным.
Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о том, что счетность зависит от выбранного порядка подсчета неверно.

Т.о. спираль может на конечном отрезке пересекать счетное множество шестиугольников (если мы сумеем таке построить), причем такая ситуация может повторяться счетное количество раз. При этом количество пересечений спирали также будет счетным, т.к. объединение счетного количества счетных множеств является счетным.

[Lapp]

Ты не совсем верно представляешь себе, что такое счетное множество.

Ну вот здрасьте, приехали..
andriano, будь добр, перечитай мой последний мессадж.. И постарайся вникнуть. Hint: речь идет о доказательствах. Не забывай, откуда ноги растут. Я не стал дочитывать, извини. Можешь стереть, если сочтешь нужным, чтобы не позориться (как, я надеюсь, ты и сделаешь, и я тогда тоже сотру этот мессадж). Еще раз: речь о доказательствах , о их верности и неверности.. Я привел тебе пример неверного доказательства (верного утверждения). Чтобы продемонстрировать, какую ошибку делаешь ты. Я не говорю, что утверждение неверно. Я говорю, что твое доказательство неверно.

даже не думай говорить мне о неверном понимании счетных множеств.. это наглость..

Сообщение отредактировано: Lapp - 8.01.2010 8:13

[andriano]

Нет, ничего стирать я не буду.
Если я написал глупость, которой я сам не вижу, то, думаю, будет справедливо, если она останется. Как говорится, глупость каждого должна быть видна.
По всей видимости, мы говорим на разных языках.
Я лично в ax+b=0 полного доказательства не увидел. Ты утверждаешь, что любой преподаватель его зачтет. Единственное предположение, которое я могу на основании этого сделать: среди преподавателей существует некоторый набор шаблонов, которые принято в данной среде принимать вместо доказательств либо их фрагментов.
Т.к. для большинства спраашивающих основная цель именно сдать, а не разобраться (пусть даже разобраться, чтобы сдать. Но основной стимул - сдать), а сдавать придется именно преподавателями в соответствии с их требованиями, я принимаю твое утверждение, что для того, чтобы сдать, рассуждать следует именно таким образом, как ты описываешь, я же в свою очерель постараюсь поменьше писать в темах, которые требуют субъективной оценки преподавателей.

[Lapp]

По всей видимости, мы говорим на разных языках.
Я лично в ax+b=0 полного доказательства не увидел. Ты утверждаешь, что любой преподаватель его зачтет. Единственное предположение, которое я могу на основании этого сделать: среди преподавателей существует некоторый набор шаблонов, которые принято в данной среде принимать вместо доказательств либо их фрагментов.
Т.к. для большинства спраашивающих основная цель именно сдать, а не разобраться (пусть даже разобраться, чтобы сдать. Но основной стимул - сдать), а сдавать придется именно преподавателями в соответствии с их требованиями, я принимаю твое утверждение, что для того, чтобы сдать, рассуждать следует именно таким образом, как ты описываешь, я же в свою очерель постараюсь поменьше писать в темах, которые требуют субъективной оценки преподавателей.

Сергей, нет, не так..
Есть аксиомы, есть логика. Еще есть ранее доказанные/общеизвестные факты, на которые можно опереться. И, наконец, есть "уровень детализации", в соответствии с которым ведется доказательство/объяснение. Только так, и никак иначе. А под "любым преподавателем" я имел в виду того, кто тоже действует исходя из этого.

Я не хотел бы оставлять это все в таком виде, если ты хочешь разобраться.. Но прямо сейчас у меня не очень много времени (я на работе ). Чуть позже (надеюсь, сегодня) я напишу подробнее, в чем проблема со спиралью, и почему мое доказательство является корректным и полным. Надеюсь, Льву это это тоже будет полезно.

спасибо за понимание ситуации, +1 ))

[Lapp]

Гоп-стоп! Я полез проверять фразу andriano:

в ax+b=0 полного доказательства не увидел

- и заметил, наконец, свою ошибку в решении.. Извиняюсь и исправляюсь.
Вместо ax+by=0 нужно читать: y=ax+b. Это множество (его мы ставим в соответствие плоскости, как описано в том посте) не включает семейство вертикальных прямых, поэтому его отдельно ставим в соответствие точкам на прямой X. Далее суммируем все в одно множество, и континуум плюс континуум есть континуум. Извиняюсь еще раз за неточность..

[Lapp]

Итак, попытаюсь выполнить обещание )).
Собственно, есть возможность, что с первой задачей уже стало понятнее после того, как я исправил свою ошибку. Но все же тут есть, что сказать, думаю, поскольку суть предложений по доказательству была несколько.. non consistent.
Дело в том, что есть разница между линейным континуумом (т.е. на прямой или другой линии) и, так сказать, площадным (не путать с площадным искусством)). Ты помнишь доказательство эквивалентности отрезка и квадрата? Я хочу обратить внимание на то, что в нем используется числовое представление точек, то есть эквивалентность понятия точки на плоскости и объекта, представленного цифровой записью. Это очень тонкий момент, и без него тут не обойтись. Множество точек квадрата двумерно, а отрезка - одномерно, и простым геометрическим процессом типа подобия тут не обойтись. Для доказательства приходится перемешивать точки так, что мама не горюй. Мощность - это всего лишь одна из характеристик множеств; и даже при равной мощности множества могут настолько разниться по своей структуре, что доказательство этого факта (равномощности) может весьма усложниться. Двумерность - это как раз одно из таких усложняющих качеств, принципиально неустранимое.

Возвращаясь к задаче с прямыми, легко увидеть, что это множество существенно двумерно, и надежды на чисто геометрическое его сопоставление с отрезком или прямой сразу рушатся. Остается либо делать, как я сделал (извиняюсь, в первом варианте допустил ошибку), либо доказывать равномощность с отрезком, используя цифровое представление, например. Использовать представление прямой как функции - просто и понятно (только не нужно забывать про вертикальные)). Такое решение базируется на аксиомах и достоверных фактах и содержит строго логические ходы. А именно:
1. имеем плоскость с системой координат на ней;
2. невертикальная (не параллельная оси Y) прямая на плоскости отождествляется с уравнением прямой, характеризуемым двумя числовыми параметрами;
3. совокупность этих параметров итерпретируем как координаты точки в двумерном пространстве;
4. последнее имеет мощность c;
5. множество вертикальных прямых сопоставляем с точками их пересечения оси X и также имеем континуум;
6. сумма двух континуальных множеств суть континуум.
Именно это я называл точным и полным решением, которое примет любой преп.

Справедливости ради следует отметить наличие и других решений. Например, такое: рассмотрим выделенную прямую на плоскости, а на ней - выделенную точку. Рассмотрим прямые, проходящие через эту точку (кроме самой выделенной прямой). Мощность этого множества - континуум, поскольку их можно сопоставить с точками полуокружности-интервала с центром в выделенной точке. Если объединить все такие множества по всем точкам выделенной прямой, то мы получим почти все возможные прямые, и это объединение будет континуально (поскольку континуальное объединение континуумов есть континуум). Добавив сюда все прямые, параллельные нашей выделенной, включая ее саму (тоже континуум), мы снова получим котинуум. Этому решению, как кажется на первый взгляд, удается избежать проблемы с двумерностью, но это иллюзия: то, что континуальное объединение континуумов дает континуум (то, что я упомянул в скобочках), снова доказывается так же, как и континуальность квадрата.. В моем же решении используется объединение всего двух континуумов, и доказательство континуальности такого объединения значительно проще. Да, в нем используется континуальность плоскости - считаю ее доказанной. Если нужно, могу доказать.

Уфф.. Про использование спирали во второй задаче я напишу чуть позже )).

[Lapp]

Про использование спирали во второй задаче я напишу чуть позже )).

Так, продолжим наш сериал )).
Итак, началось с этого:

я бы предложил выбрать один из многоугольников и перенумеровать остальные по спирали от него

Само по себе слово "перенумеровать" означает присвоить каждому номер, то есть поставить во взаимно-односначное соответствие с натуральным рядом. Заметь: именно каждому встреченному присвоить уникальный номер. Например, нумерация четных чисел, больших нуля, может быть сделана присвоением каждому номера, вдвое меньшего его величины. Еще раз: непременным условием успешного нумерования является наличие номера у каждого объекта после окончания процедуры. "Процедурой" в случае четных чисел можно считать произнесение фразы, написанной мной в предыдущем предложении. В общем случае, процедурой является определение правила пересчета.

Продолжаю. В начальном варианте, по-видимому, предполагалось такое развитие спирали, которое явно нумерует шестиугольники пересеканием. Затем, когда я указал на возможное наличие предельных точек (ПТ), спираль стала нумеровать, по-видимому, целые "счетные кластеры" (мой термин), а также появились некие "параллельные спирали" (твой термин). Возможно, я не вполне точно следую тому, что ты имел в виду, но ты так ни разу и не определил точную процедуру. Что случилось? Не ты ли требуешь от спрашивающих точно сказать, что они хотят (могу привести примеры тем))? Куда девалась твоя дотошность в данном случае? Я понимаю, что в первом мессадже действительно мог быть лишь один намек, а не полное доказательство. Но когда спор продолжился, точного определения процедуры так и не появилось. А дело в том, что этот способ вряд ли существует..

В примере в том мессадже (с интервалами) я хотел сказать, что способ доказательства должен быть верным. И если хотя бы один элемент множества выпадает, этот способ доказательства нельзя считать верным. Заметь, я не говорю, что множество не счетное, я говорю только, что способ доказательства его счетности неверен. Давай рассмотрим подробнее..

В том примере с интервалами может быть по крайней мере два выхода из положения.
1. начинать подсчет с интервала-отщепенца, а потом переходить к остальным;
2. подсчитать сначала подмножество, а потом сказать, что объединение счетного и конечного множества - счетно.
Во втором случае решение разбито на две части. Хотя можно считать, что центр тяжести в первой, а вторая - ерундовая добавка, но все равно это уже не есть прямой пересчет. Если твоя спираль проходит через счетные кластеры - это тоже уже не есть прямой пересчет. Но это еще полбеды..

Если ты собираешься теперь перенумеровывать такие вот счетные кластеры, ты должен что-то сказать в защиту их расположения на плоскости. И это что-то должно исходить из геометрических особенностей данных фигур (равносторонние непересекающиеся шестиугольники) - то, о чем ты вообще по какой-то странной причине избегаешь говорить. Хорошо, невложенность тебе казалось естественной. Хотя доказательство этого факта, если я правильно помню, являлось предметом одной из олимпиадных задач - ладно, я готов поверить. Но как ни крути, тебе придется доказать, что таких счетных кластеров на плоскости счетное количество - либо с помощью спирали (точного ее представления), либо еще как. Если ты так и не представишь точный способ или проведешь доказательство этого факта "еще как", то.. то я вообще не понимаю - а при чем тут спираль? . Тогда просто достаточно сказать, что счетное объединение счетных множеств счетно..

Короче, я жду точного определения "спирали". То есть так: начинаем с такой-то точки, идем на север, сворачиваем туда-то через столько-то.. если встречаем (пересекаем, касаемся..), то присваиваем номер такой-то.. в результате мы пройдем всю плоскость (удалимся от начала на любое наперед заданное расстояние во всех направлениях) потому что... Только так, и никак иначе.

В примере с интервалами "спираль" не прошла, потому что не смогла перешагнуть через единицу. Номера закончились, нумеровать "отщепенца" было нечем. В этом примере мы легко можем модифицировать решение, чтобы сделать его верным. Можем ли мы сделать это в случае твоей спирали? Я не уверен.

Давай рассмотрим еще один пример.
Счетное множество точек на плоскости, сходящихся к каждой точке с целыми координатами (ЦТ). То есть каждая ЦТ является предельной (а все остальные - нет), доопредели его точно сам, если хочешь. Вот в этом случае (я считаю его упрощенным, поскольку тут зафиксированы предельные точки) ты сможешь провести "спираль" так, чтобы она пересчитала все точки? Я не исключаю этого, но боюсь, в этом случае она вряд ли сохранит хоть какой-то намек на родственные отношения с другими спиралями )). Если же твоя спираль будет "считать" только предельные точки, то - а зачем она вообще? Хорошо, ты разбиваешь задачу на два этапа: пересчет ПТ и объединение их окрестностей - имеешь полное право. Но тогда в оригинальной задаче (про шестиугольники) я попрошу тебя выделить два этапа, одним из которых будет пересчет по спирали предельных точек.. И, должен тебе признаться, я тебе не завидую, потому что на основе геометрии доказывать тут, что ты сможешь провести спираль через все ПТ так, чтобы пройтись по всей плоскости - это ооооочень непросто, мне кажется.. То есть, например, такой вопрос: в нашем множестве предельные точки есть (пример легко привести), а вот есть ли предельные точки у множества ПТ? Я, например, с наскока не могу ответить. Мне пока кажется, что да, могут быть. А ты можешь? Или, скажем, может ли быть множество ПТ плотным?

Спираль - вовсе не такое уж мощное оружие, как кажется иногда на первый взгляд. Ей можно пересчитать все ЦТ (то есть просто точки с целыми координатами, без сгущения к ним) на плоскости, но для пересчета всех точек с рациональными координатами (РТ) она абсолютно не годится. То, что я пытаюсь тебе сказать, как раз и есть, что нужен более подробный геометрический анализ, чтобы сказать - точно ли наше множество больше похоже на множестов ЦТ, чем на РТ? Я пока не могу дать ответа на этот вопрос. Знаю только, что раз ПТ могут существовать - это уже точно сложнее, чем просто множество ЦТ. И до того, как ты доказал, множество может быть хоть континуумом, хоть чем. Так что говорить, что спираль пересечет счетное количество предельных точек - весьма преждевременно..

Не знаю, удалось ли мне указать тебе на то, в чем состоит твоя ошибка.. Это, я бы сказал, задача неблагодарная. Я усвоил это еще по временам преподавания матанализа в спецшколах и на кружках при мехмате МГУ. В большинстве случаев (но не во всех) легко отличить верное решение от неверного, но вот объяснить, в чем именно состоит ошибка - это иногда очень непросто.. )) Если у тебя остаются вопросы - давай продолжим наш квест за истиной)).

[andriano]

А именно:

Можно уточнить, что именно мы доказываем?
Равномощность прямой и плоскости (или, что то же самое, равномощность континуум и квадрата континуума) или что-то другое?

1. имеем плоскость с системой координат на ней;
2. невертикальная (не параллельная оси Y) прямая на плоскости отождествляется с уравнением прямой, характеризуемым двумя числовыми параметрами;
3. совокупность этих параметров итерпретируем как координаты точки в двумерном пространстве;
4. последнее имеет мощность c;

Мне кажется, именн это и нужно доказать?

5. множество вертикальных прямых сопоставляем с точками их пересечения оси X и также имеем континуум;

Вообще-то такое сопоставление не есть биекция, т.к. одной точке соответствует континуум прямых, проходящих через нее под разными углами. Т.е. опять пытаемся доказать эквивалентность континуума и его квадрата саму через себя.

6. сумма двух континуальных множеств суть континуум.

Каких именн "этих"?

Еще раз, что мы доказываем? До сих пор речь шла только о счетных множествах, а в самом посте формулировка доказываемой теоремы отсутствует.